【创新设计】-版高中数学1.3.2空间几何体的体积同步训练苏教版必修21．已知正三棱锥S－ABC，D、E分别为底面边AB、AC的中点，则四棱锥S－BCED与三棱锥S－ABC的体积之比为________．解析两锥体高相等，因此VS－BCED∶VS－ABC＝SBCED∶SABC＝3∶4.答案3∶42．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E、F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB1C1CEF的体积为________．解析△ABC中，BC边上的高h＝＝2，V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，∴VE－ABC＋VF－A1B1C1＝V柱＝6，故VBB1C1CEF＝36－6＝30.答案303．在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形且△ADE、△BCF均为正三角形EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．解析如图所示，过BC作EF的直截面BCG，作面ADM∥面BCG，取BC的中点为O，连结GO、FO.FO＝，FG＝.∴GO＝＝，∴S△BCG＝×1×＝，V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝，V2＝2VF－BCG＝2×××＝.∴V＝V1＋V2＝.答案4．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析由题意，设AB＝a，AA1＝b，再由BD·DC1＝6可得a2＋＝12.又由BC2＋CC＝BC得a2＋b2＝24，可得a＝2，b＝4，∴V＝×(2)2×4＝8.答案85．已知正方体的体对角线长等于2cm，它的顶点中有4个在半球O的底面上，另外4个在半球O的表面上，那么半球O的体积为________cm3.解析过正方体的对角面作截面如图．设半球O的半径为R.∴A1C＝2cm，又 AB2＋AC2＋AA＝A1C2∴3AA＝12.A1A＝2cm，AC＝2cm.∴A1O＝R＝＝＝(cm)．∴V＝×πR3＝π×()3×＝4π(cm3)．答案4π6．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．解析以四面体的各棱为对角线还原为长方体．如图．设长方体的长、宽、高分别为x、y、z.∴∴ VD－ABE＝DE·S△ABE＝V长方体．同理VC－ABF＝VD－ACG＝VD－BCH＝V长方体．∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24.∴V四面体ABCD＝8.7．在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则球的体积为________．解析把三棱锥P－ABC“”补成棱长分别为a、b、c的长方体，显然该长方体仍内接于原来的球，且球的直径等于长方体的对角线，即2R＝l，其中l2＝a2＋b2＋c2.于是R＝＝，V球＝R3＝(a2＋b2＋c2).答案(a2＋b2＋c2)8．一个多面体的体积为V，其内切球的半径为R，则其表面积为________．解析以多面体内切球球心为顶点，底面为底面，则可组成若干棱锥，这些棱锥体积之和为V＝×R(S1＋S2…＋＋Sn)＝×S·R，∴S＝.答案9．(·新课标)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________．解析可以求得球心O到矩形ABCD所在平面的距离为2，因此V棱锥O－ABCD＝×6×2×2＝8.答案810．球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4π，则此球的体积为________．解析设球心为O，球的半径为R，由已知可得：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，∴AB＝BC＝CA＝R. 截面圆的半径为2，∴××R＝2，R＝.∴V＝πR3＝π×6＝8π.答案8π11.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．解截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设棱柱的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝·h·(＋S＋)＝hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－hS＝hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5.12.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面AC的距离为2，求该多面体的体积．解将多面体ABCDEF补形成三棱柱BCF－ADG，再将这个三棱柱补成四棱柱ABCD－HKFG，如图．则V三棱柱＝V四棱柱＝×9×2＝9.又VE－AGD＝V三棱柱＝×9＝，从而VABCDEF＝V三棱柱－VE－ADG＝9－＝.13．(创新拓展)已知正三棱锥V－ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中...
