第三节简单曲线的极系坐标方程一、选择题1．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()．A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝－D．ρ＝解析如图所示，设M为直线上任一点，设M(ρ，θ)．在△OPM中，OP＝OM·cos∠POM，∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－.答案C2．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为()．A．ρ＝2cosθB．ρ＝－2cosθC．ρ＝2sinθD．ρ＝－2sinθ解析如图所示，P(，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°，在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM∴ρ＝2cos(π－θ)，即ρ＝－2cosθ.答案B3．极坐标方程ρ＝2sin的图形是()．解析∵ρ＝2sin＝2sinθ·cos＋2cosθ·sin＝(sinθ＋cosθ)，∴ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，∴x2＋y2＝x＋y，∴＋＝1，∴圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.答案C4．曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为()．A．x2＋(y＋2)2＝4B．x2＋(y－2)2＝4C．(x－2)2＋y2＝4D．(x＋2)2＋y2＝4解析由已知得ρ2＝4ρsinθ，∴x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.答案B二、填空题5．两曲线ρsinθ＝2和ρ＝4sinθ(ρ>0，0≤θ<2π)的交点的极坐标是____________．答案，6．极点到直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的距离为________．解析直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的直角坐标方程为x－y－2＝0，极点的直角坐标为(0，0)，∴极点到直线的距离为d＝＝.答案7．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________．解析过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.答案28．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________．解析原方程化为直角坐标系下的方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．答案(，0)，(，π)三、解答题9．(求直线的极坐标方程)求过点A，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．解在直线l上任取一点M，如图：因为A，所以|OH|＝2cos＝.在Rt△OMH中，|OH|＝ρcosθ＝，所以所求直线的方程为ρcosθ＝.10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化．(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)ρcos2＝1；(4)ρ2cos2θ＝4；(5)ρ＝.解(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化简得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)∵ρcos2＝1，∴ρ＝1，即ρcosθ＋ρ＝2，∴x＋＝2，整理有y2＝4－4x.(4)∵ρ2cos2θ＝4，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4.化简得x2－y2＝4.(5)∵ρ＝，∴1＝2ρ－ρcosθ，∴1＝2－x，整理得3x2＋4y2－2x－1＝0.11．(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上，求圆心为A，半径为5的圆的极坐标方程．解在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，|OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝－θ或.由余弦定理得cos＝，即ρ2－16ρcos＋39＝0为所求圆的极坐标方程．
