第四节柱坐标系与球坐标系简介（选学）一、选择题1．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为()．A．P点(5，1，1)，B点B．P点(1，1，5)，B点C．P点，B点(1，1，5)D．P点(1，1，5)，B点解析设P点的直角坐标为(x，y，z)，x＝·cos＝·＝1，y＝·sin＝1，z＝5.设B点的直角坐标为(x，y，z)，x＝·sin·cos＝··＝，y＝·sin·sin＝··＝，z＝·cos＝·＝.所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.答案B2．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是()．A.B.C.D.解析∵ρ＝＝2，θ＝π，z＝3.∴M的柱坐标为.答案C3．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为()．A.B.C.D.解析由变换公式r＝＝2，cosφ＝＝，∴φ＝.∵tanθ＝＝1，∴θ＝π.∴M的球坐标为.答案B4．点M的球坐标为，则它的直角坐标为()．A．(－6，2，4)B．(6，2，4)C．(－6，－2，4)D．(－6，2，－4)解析由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4)．答案A二、填空题5．点M的球坐标为，则M的直角坐标为____________．解析x＝rsinφcosθ＝4×sin×cosπ＝2，y＝rsinφsinθ＝4×sin×sinπ＝－2，z＝rcosφ＝4×cos＝0，∴M(2，－2，0)．答案(2，－2，0)6．设点M的柱坐标为，则它的直角坐标为______．答案(，1，7)7．在球坐标系中，方程r＝1表示______________________，方程φ＝表示空间的________________________．答案球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面8．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．解析设点M在平面Oxy上的射影为P，连结PN，则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，∴PN⊥直线Oy.∴|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1∴|OM|＝＝＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，∴|MN|＝＝＝.答案3三、解答题9．(直角坐标与柱坐标、球坐标的互化)设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．解由坐标变换公式，可得ρ＝＝，tanθ＝＝1，θ＝(点(1，1)在平面xOy的第一象限)，r＝＝＝2.由rcosφ＝z＝，得cosφ＝＝，φ＝.∴点M的柱坐标为，球坐标为.10．将下列各点的柱坐标化为直角坐标．P，Q解直接代入互化公式可得P的直角坐标为(，1，1)，Q点的直角坐标为(－2，2，－3)．11．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π(体积单位)．
