5．2二项式系数的性质1．设(1＋x)8＝a0＋a1x…＋＋a8x8，则a0，a1…，，a8中奇数的个数为()．A．2B．3C．4D．5解析由二项式定理(1＋x)8＝C＋C·x＋C·x2…＋＋C·x7＋C·x8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3…＋＋a8x8；又C＝1，C＝8，C＝28，C＝56，C＝70，C＝56，C＝28，C＝8，C＝1，可得仅有两个为奇数，即a0＝C＝1，a8＝C＝1.答案A2．如果n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是()．A．7B．－7C．21D．－21解析令x＝1，得2n＝128，∴n＝7，从而Tr＋1＝C37－r·，令7－r＝－3，得r＝6，∴的系数为C(－1)6·37－6＝21.答案C3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4…＋＋a2n等于()．A.(3n＋1)B.(3n－1)C．3n－1D．3n＋1解析令x＝1，得a0＋a1＋a2…＋＋a2n＝3n.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3…＋＋a2n＝1.故a0＋a2＋a4…＋＋a2n＝(3n＋1)．答案A4．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________(用数字作答)．解析∵(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，令x＝1，得(1－2)5＝a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝－1，①令x＝0，得(0－2)5＝a0＝－32.②由①②得，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.答案315．设n∈N＋，则C＋C6＋C62…＋＋C6n－1＝________.解析设C＋C6＋C62…＋＋C6n－1＝A，则6A＝C6＋C62…＋＋C6n＝(6＋1)n－C＝7n－1，∴A＝.答案6．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2…＋＋a7x7.求：(1)a1＋a2…＋＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|…＋＋|a7|.解令x＝1，则a0＋a1＋a2…＋＋a7＝－1，①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3…＋－a7＝37.②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3…＋＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)∵|a0|＋|a1|＋|a2|…＋＋|a7|表示(1＋2x)7展开式中各项的系数和，∴|a0|＋|a1|＋|a2|…＋＋|a7|＝37＝2187.7.5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()．A．－1B.C．1D．2解析∵Tr＋1＝Cx5－rr＝arCx5－2r(r＝0,1,2,3,4,5)，令5－2r＝3，所以r＝1，所以a1C＝10⇒a＝2.答案D8．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()．A．－7B．7C．－28D．28解析因为只有第5项的二项式系数最大，即C最大，则n＝8，二项式为8，易得常数项为C2·6＝7.答案B9．若(1＋5x2)n的展开式中各项系数之和是an，(2x3＋5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn，则的值为________．解析由已知可得an＝(1＋5)n＝6n，bn＝2n，∴＝＝.答案10．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)…＋＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析法一令t＝x＋1，则x＝t－1，由已知得(t－1)2＋(t－1)10＝a0＋a1t…＋＋a9t9＋a10t10，因此a9＝C(－1)1＝－10.法二根据左边x10的系数为1，易知a10＝1.左边x9的系数为0，右边x9的系数为a9＋a10C＝a9＋10＝0，∴a9＝－10.答案－1011．在二项式(axm＋bxn)12(a>0，b>0，m、n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式中系数最大项恰为常数项．(1)求它是第几项？(2)求的范围．解(1)设Tr＋1＝C(axm)12－r(bxn)r＝Ca12－r·brxm(12－r)＋nr为常数，则有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0，∴r＝4，它是第五项．(2)∵第五项又是系数最大项，∴有由①得，a8b4≥a9b3，又a>0，b>0，∴b≥a，即≤.同理，由②解得≥.∴≤≤.12．(创新拓展)某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区人口为P人，粮食单产为M吨/公顷，依题意得≥·(1＋10%)．化简得x≤103.∵103＝103≈103≈4.1，∴x≤4(公顷)．所以按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．
