高中数学 2.2.1直接证明同步检测 苏教版选修2-2VIP免费

2.2.1直接证明1．分析法是________．①执果索因的逆推法；②执因导果的顺推法；③因果分别互推的两头凑法；④寻找结论成立的充要条件的证明办法．答案①2．设a、b是正实数，以下不等式①＞；②a＞|a－b|－b；③ab＋＞2恒成立的序号是________．解析当a＝b时，＝，∴①不成立．a、b为正数，∴a＋b＞|a－b|，②成立．ab＋≥2＞2，故③成立．答案②③3．设函数f(x)是定义在R上，周期为3的奇函数，若f(1)＜1，f(2)＝，则a的取值范围为________．解析由题意得f(－2)＝f(1－3)＝f(1)＜1，∴－f(2)＜1，即－<1.∴>0，即3a(a＋1)＞0.∴a＜－1或a＞0.答案a＜－1或a＞04．如果a＋b＞a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．解析∵a＋b＞a＋b∴(a－b)＋(b－a)＞0∴(a－b)(－)＞0.∴(＋)(－)2＞0，∴－≠0即a≠b.答案a≠b5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________．解析在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，即2·a＝c.∴a2＋c2－b2＝c2，∴a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．答案等腰三角形6．设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明法一分析法要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，又因a＋b＞0，只需证a2－ab＋b2＞ab成立，只需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．由此命题得证．法二综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．∴a3＋b3＞a2b＋ab2.7．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为________．①p≥q；②p≤q；③p＞q.解析q＝≥＝＋＝p.答案②8．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则P________S(“填>”“或<”或“≥”或“≤”)．解析S－P＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，∴S≥P.答案：≤9．已知a＞0，b＞0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于________．解析∵a＞0，b＞0，∴不等式可化为m≤(2a＋b)＝5＋2.只需求右边的最小值，由基本不等式，有5＋2≥5＋4＝9，∴m≤9.答案910．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，f(1)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________．解析∵x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，即(xf(x))′>0，∴xf(x)在(0，＋∞)是增函数．又f(1)＝0，∴x＝1时，xf(x)＝0.∵f(x)为偶函数，∴xf(x)为奇函数．∴xf(x)的图象如图．∴xf(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案(－1,0)∪(1，＋∞)11．a、b、c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋>＋＋.证明法一由左式推证右式∵abc＝1，且a、b、c为互不相等的正数∴＋＋＝bc＋ac＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋∴＋＋>＋＋.法二右式⇒左式∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1.∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋.12．已知x＞0，y＞0，求证(x2＋y2)＞(x3＋y3).证明要证明(x2＋y2)＞(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3＞(x3＋x3)2.只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，只需证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.又x＞0，y＞0，∴x2y2＞0，∴只需证3x2＋3y2＞2xy，∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2＞2xy成立，故(x2＋y2)＞(x3＋y3).13．(创新拓展)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{an}的前n项和，证明：≤1.解(1)设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a5＝a1q4，依题意，得方程组解得a1＝2，q＝3，∴an＝2·3n－1(2)∵Sn＝＝3n－1，∴＝≤＝1，即≤1.