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高中数学 2-1-3推理案例赏析规范训练 苏教版选修1-2VIP免费

高中数学 2-1-3推理案例赏析规范训练 苏教版选修1-2_第1页
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2.1.3推理案例赏析双基达标限时15分钟1.下面几种推理是合情推理的是__________.①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了;④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)×180°.解析①是类比推理,②④是归纳推理.答案①②④2.观察以下不等式:1+<,1++<,1+++<,由以上各式归纳可得出的一般结论为________.答案1…++++<(n≥2,n∈N*)3.已知圆的方程为x2+y2=a2,则圆的面积为πa2.类比上述结论,可得椭圆的类似结论为________________.答案椭圆的方程为+=1(a>b>0),则椭圆的面积为πab4.已知{bn}为等比数列,b5=2,且b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为________.解析b=b1b9=b2b8=b3b7=b4b6,在等差数列中2a5=a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6,所以有a1+a2…++a9=2×9.答案a1+a2…++a9=2×95.f(n)=1…++++(n∈N+).计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有__________.解析f(21)=,f(22)>2=,f(23)>,f(24)>即f(2n)≥.答案f(2n)>6.如图所示,在三棱锥SABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC,△SAC,△SAB面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.解在△DEF中,由正弦定理,得==.于是,类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC中,我们猜想==成立.7.如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当FB⊥AB时,其离心率为,此类椭圆被称为“”“”“”黄金椭圆.类比黄金椭圆,可推算出黄金双曲线的离心率e=________.解析由题意,得b2+c2+c2=(c+a)2,即c2-ac-a2=0,所以e2-e-1=0,又e>1,解得e=.答案8.下列图形中的线段有规则地排列,猜出第6个图形中线段的条数为__________.解析第1个图只有一条线段,则第2个图比第1个图增加4条线段,即线段上的端点上各增加2条,第3个图比第2个图增加8条线段,第4个图比第3个图增加2×8=24条线段,则第6个图中线段数为1+22+23+24+25+26=125.答案1259.设题中字母均为正数,由下列恒等式:①a·=1;②(a+b)≥4;③(a+b+c)≥9.可以归纳出的一般结论是______________.答案(a1+a2…++an)≥n2(ai∈R+,i=1,2…,n)10.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0∞,+)上的变量,则(πr2)′=2πr①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球,若将R看作(0∞,+)上的变量,请你写出类似于①的式子:_________________________________②,②式可以用语言叙述为:_____________.解析半径为R的球,体积V(R)=πR3,表面积S=4πR2′,则=4πR2.′答案=4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数11.观察①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1.②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广,此推广是什么?并证明你的推广.解观察到:10°+20°+60°=90°,5°+75°+10°=90°.猜想此推广为α+β+γ=且α,β,γ都不为kπ+(k∈Z),则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.证明:①γ=0时,等式显然成立.②当γ≠0时,由α+β+γ=,得α+β=-γ,所以tan(α+β)=.又因为tan(α+β)=,所以tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)=(1-tanαtanβ),所以tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=tanαtanβ+tanγ(tanα+tanβ)=tanαtanβ+tanγ··(1-tanαtanβ)=1.综上所述,等式成立.12.观察下列算式,猜测此表提供的一般法则,用适当的数学式子表示,并加以证明.1=1,3+5=8,7+9+11=27,13+15+17+19=64,21+23+25+27+29=125,……解数表中每行的每一项构成的数列为{an},1,3,7,13,21…,,其构成规律是a1=1,an-an-1=2(n-1)(n≥2,n∈N)∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)…++(an-an-1)=1+2[1+2…++(n-1)]=1+n(n-1)=n2-n+1.因此,此表反应的一般规律可表示为:(n2-n+1)+[(n2-n+1)+2]+[(n2-n+1)+4]…++[(n2-n+1)+2(n-1)]=n3.13.(创新拓展)设N=,通过对n=1,2,3等的研究,你能得到什么结果?归纳出一般结论,并加以证明.证明n=2时,N=======33n=3时,N======333.

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