3.3复数的几何意义1．复数z＝－1，则在复平面内z所对应的点在第______象限．解析z＝－1＝－1＝－1＋i.答案第二象限2．在复平面内，复数对应的点与原点的距离是______．解析复数即为1－i，与其对应的点为(1，－1)，该点与原点(0,0)的距离是.答案3．已知i为虚数单位，则在复平面上复数z＝对应的点的坐标为______．解析z＝＝＝＝－－i.答案4．向量OZ1对应复数5－4i，向量OZ2对应复数－5＋4i，则向量OZ1＋OZ2对应复数为________．解析(5－4i)＋(－5＋4i)＝0.答案05．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是________．解析复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2，－1)的距离．从图形上可得|z＋2＋i|的最大值是4.答案416．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i，由题意，得a＝3b≠0.∵|ω|＝＝5，∴|z|＝＝5，将a＝3b代入上式，得a＝±15，b＝±5，故ω＝±＝±(7－i)．7．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝________.解析AB＝OB－OA＝1＋3i－(1＋)＝2i，∴|AB|＝2.答案28．已知z＝cos＋isin，i为虚数单位，那么平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是________．解析|z|＝1，所以就是求平面内到点C(1,2)的距离等于1的点的轨迹．答案以点C为圆心，半径等于1的圆9．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且ABCD为平行四边形，则z＝________.解析由于AB＝DC，∴(－4＋5i)－(－3－2i)＝2＋i－z，∴z＝3－6i.答案3－6i10．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是______．解析充分利用数形结合，“|z＋i|＋|z－i|＝2”表示复平面内虚轴上的一条线段，“|z＋i＋1|”表示复平面内点Z到点(－1，－1)的距离．答案111．已知|z|＝1，求|z－(2＋3i)|的最值．解|z|＝1表示以原点O为圆心、半径为1的圆，即单位圆；|z－(2＋3i)|表示单位圆上的点与点A(2,3)的距离，由平面几何知识可得|z－(2＋3i)|的最大值为|OA|＋1，即＋1；最小值为|OA|－1，即－1.12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．解法一设D点对应复数为x＋yi(x，y∈R)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC中点为，BD中点为.∵平行四边形对角线互相平分，∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.法二设D点对应的复数为x＋yi，(x，y∈R)．则AD对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又BC对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，由已知AD＝BC.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.13．(创新拓展)设z1、z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.解法一∵|z1＋z2|2＝(z1＋z2)()＝(z1＋z2)·(＋)＝z1·＋z2·＋·z2＋z1·＝2，又∵z1·＝|z1|2＝1，z2·＝|z2|2＝1，∴·z2＋z1·z2＝0.而|z1－z2|2＝(z1－z2)()＝(z1－z2)(－)＝z1·＋z2·－(z1·＋z2·)＝|z1|2＋|z2|2＝2，∴|z1－z2|＝.法二作出z1、z2对应的向量OZ1、OZ2，使OZ1＋OZ2＝OZ，∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1、OZ2不共线，若OZ1、OZ2共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾．∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．又|z1＋z2|＝，∴∠OZ1Z＝90°，即OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝.
