§1数系的扩充与复数的引入1．2复数的有关概念1．若点P对应的复数z满足|z|≤1，则P的轨迹是()．A．直线B．线段C．圆D．单位圆以及圆内答案D2．如果向量OZ＝0，则下列说法中正确的个数是()．①点Z在实轴上；②点Z在虚轴上；③点Z既在实轴上，又在虚轴上．A．0B．1C．2D．3答案D3．已知复数z满足|z|2＝z2，则z是()．A．0B．任意实数C．任意复数D．实数和纯虚数解析设z＝a＋bi(a，b为实数)，则|z|2＝a2＋b2，z2＝a2－b2＋2abi.∵|z|2＝z2，∴即a∈R且b＝0，故z＝a是任意实数．答案B4．若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.解析由x是实数，y是纯虚数可得所以答案2i5．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，实数m的值为__________．解析∵M∪P＝P，∴M⊆P，∴由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.答案1或26．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：(1)位于第二象限；(2)位于直线y＝x上．解根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．(1)由点Z位于第二象限得解得－2＜a＜1.故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.7．下列三个命题中：①如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－，z4＝2－i，那么这些复数对应的点共圆；②|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值是0；③x轴是复平面的实轴，y轴是复平面的虚轴，所以实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数．正确的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个解析①易求得|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，所以命题①正确；②因为|cosθ＋isinθ|＝1(常数)，所以命题②错误；③因为除原点外，虚轴上的点表示虚数，所以命题③错误．所以应选B.答案B8．使|logx－4i|≥|3＋4i|成立的x的取值范围是()．A.B．(0,1)∪[8∞，＋)C.∪[8∞，＋)D．(0,1)∪(8∞，＋)≥≥解析由已知得，所以5，即(logx)2≥9，所以logx≤－3或logx≥3，解得x≥8或0＜x≤，所以应选C.答案C9．若cosθ＋(m－sinθ－cosθ)i不可能是实数，则m的取值范围为______．解析cosθ＋(m－sinθ－cosθ)i不可能为实数，则只需要m－sinθ－cosθ≠0，即m≠sinθ＋cosθ，而sinθ＋cosθ＝sin∈[－，]，所以m>或m<－.答案m>或m<－10．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为______．解析由表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9.答案911．在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．解由题意知Z1(－1，)，Z2(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别是OZ1，OZ2，OZ3，OZ4.12．(创新拓展)如果λ＞0，向量a对应复数z1，向量λa对应复数z2，那么|z1|与|z2|的关系是什么？解设a＝(x，y)(x，y∈R)，则λa＝(λx，λy)，∴|z1|＝，|z2|＝＝＝λ，∴|z2|＝λ|z1|.
