第四讲级数与反常积分收敛的Abel—Dirichlet判别法Abel判别法与Dirichlet判别法在《数学分析》课程教学中出现了四次，即积分的“反常积分”部分与“含参变量积分”部分，级数的“数项级数”部分与“函数项级数”部分，证明的关键是积分第二中值定理与Abel引理。如何讲好这两个内容是教学的关键。下面我们就“反常积分”部分与“数项级数”部分的Abel判别法与Dirichlet判别法进行讲解。1．积分的Abel判别法与Dirichlet判别法定理1（Cauchy收敛原理）反常积分()()afxgxdx收敛的充分必要条件是：对任意给定的0，存在aA0，使得对任意AAA,0，有()()AAfxgxdxK。定理2（积分第二中值定理）设fx()在[,]ab上可积，gx()在[,]ab上单调，则存在[,]ab，使得badxxgxf)()(badxxfbgdxxfag)()()()(。证我们只对fx()在[,]ab上连续，gx()在[,]ab上单调且)('xg在[,]ab上可积的情况加以证明。记Fx()xadttf)(，则)(xF在],[ba连续，且Fa()0。由于fx()在[,]ab上连续，于是)(xF是fx()在[,]ab上的一个原函数，利用分部积分法，有badxxgxf)()(baxgxF)()(Fxgxdxab()()。上式右端的第一项)()()()(bgbFxgxFbagbfxdxab()()，而在第二项中，由于gx()单调，因此gx()保持定号，由积分第一中值定理，存在[,]ab，使得babadxxgFdxxgxF)()()()(adxxfagbg)()]()([，于是fxgxdxab()()gbfxdxab()()adxxfagbg)()]()([badxxfbgdxxfag)()()()(。说明在判断反常积分()()afxgxdx收敛时，我们将利用积分第二中值定理得到AAdxxgxf)()(AAdxxfAgdxxfAg)()()()(。定理3（反常积分的A-D判别法）若下列两个条件之一满足，则fxgxdxa()()收敛：(1)（Abel判别法）adxxf)(收敛，gx()在[,)a上单调有界；(2)（Dirichlet判别法）FAfxdxaA()()在[,)a上有界，gx()在[,)a上单调且lim()xgx0。证设是任意给定的正数。(1)若Abel判别法条件满足，记|()|gxG。因为fxdxa()收敛，由Cauchy收敛原理，存在aA0，使得对任意AAA,0，有()AAfxdx。由积分第二中值定理，AAdxxgxf)()(AAdxxfAgdxxfAg)()()()(2G。(2)若Dirichlet判别法条件满足，记()FAM，此时对任意AAa,，显然有()()()2AAAAaafxdxfxdxfxdxM；因为lim()xgx0，所以存在aA0，当xA0时，有|()|gx。于是，对任意AAA,0，AAdxxgxf)()(AAdxxfAgdxxfAg)()()()(4M。所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有adxxgxf)()(收敛的结论。例1讨论sinxxdx1的敛散性。解sinxdxA1显然有界，1x在[,)1上单调且limxx10，由Dirichlet判别法，sinxxdx1收敛。但在[,)1，有xxxxxxx22cos21sinsin2，因cos221xxdx收敛（仿照上面对sinxxdx1的讨论），而121xdx发散，所以sin21xxdx发散。再由比较判别法，可知1sindxxx发散。因此，sinxxdx1条件收敛。例2讨论1tanarcsindxxxx的敛散性。解由例1，sinxxdx1收敛，而xtanarc在[,)1上单调有界，由Abel判别法，1tanarcsindxxxx收敛。当x[,)3时，有xxxxxsintanarcsin，由比较判别法和1sindxxx发散，可知1tanarcsindxxxx非绝对收敛。因此，1tanarcsindxxxx条件收敛。2．级数的Abel判别法与Dirichlet判别法定理3（Cauchy收敛原理）级数1nnnab收敛的充分必要条件是：对任意给定的0，存在正整数N，使得1npkkknabK对一切nN与一切正整数p成立。引理1（Abel变换）设{an}，{bn}是两数列，记Bk=kiib1（k=1,2,⋯），则pkkkba1=apBp-111)(pkkkkBaa。（1）证pkkkba1=a1B1+pkkkkBBa21)(=a1B1+pkkkBa2-pkkkBa21=11pkkkBa-111pkkkBa+apBp=apBp-111)(pkkkkBaa。上式也称为分部求和公式。事实上，Abel变换就是离散形式的分部积分公式。记G(x)=xattgd)(，则分部积分公式可以写成baxxgxfd)()(=baxfxGbGbf)(d)()()(。（2）将数列的通项类比于函数：ka对应于)(xf，pa对应于)(bf，kb对应于)(xg，将求和类比于求积分：kiikbB1对应于xattgxGd)()(，piipbB1对应于battgbGd)()(，将求差类比于求微分：kkaa1对应于)(xdf，则（1）式与（2）式两者是一致的。上图是当0na，0nb，且na单调增加时，Abel变换的一个直观的示意。图中矩形5,0B5,0a被分割成9个小矩形，根据所标出的各小矩形的面积，即得到p=5的Abel变换：5455111()kkkkkkkabaBaaB。a5445)(Baaa4334)(Baa55baa3223)(Baa44baa2112)(Baa33baa122ba11ba0B1B2B...
