-1-第七章线性变换3．在[]Px中，()()fxfx，()()fxxfx，证明：．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取()[]fxPx，则有()()()()(())(())fxfxfxxfxfx(())()()()xfxxfxfxfx，于是．4．设,是线性变换，如果，证明：1,1kkkkk．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当2k时，由于，可得22()()2，因此结论成立．假设当ks时结论成立，即1ssss．那么，当1ks时，有11()()(1)ssssssssss，即对1ks结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1k结论都成立．『特别提醒』由0可知，结论对1k也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．证明设是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果，那么，用1作用左右两边，得到11()()，因此是单射；另外，对于任意的V，存在1V，使得1()，即是满射．于是是双射．-2-『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射是V到自身的同构．6．设12,,,n是线性空间V的一组基，是V上的线性变换，证明可逆当且仅当12,,,n线性无关．证法1若是可逆的线性变换，设1122nnkkk0，即1122()nnkkk0．而根据上一题结论可知是单射，故必有1122nnkkk0，又由于12,,,n是线性无关的，因此120nkkk．从而12,,,n线性无关．反之，若12,,,n是线性无关的，那么12,,,n也是V的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换，使得()ii，1,2,,in．显然()ii，()ii，1,2,,in．再根据教材中的定理1知，．所以是可逆的．证法2设在基12,,,n下的矩阵为A，即121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnA．由教材中的定理2可知，可逆的充要条件是矩阵A可逆．因此，如果是可逆的，那么矩阵A可逆，从而12,,,n也是V的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,n是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基12,,,n到12,,,n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换可逆转化成了矩阵A可逆．9．设三维线性空间V上的线性变换在基123,,下的矩阵为111213212223313233aaaaaaaaaA．1）求在基321,,下的矩阵；-3-2）求在基123,,k下的矩阵，其中kP且0k；3）求在基1223,,下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解1）由于3131232333333232131aaaaaa，2121222323323222121aaaaaa，1111212313313212111aaaaaa．故在基321,,下的矩阵为3332311232221131211aaaaaaaaaB．2）由于11112123131112123131aaaaakak，2121222323121222323kkakakakaakka，31312323331312323331aaaaakak．故在基123,,k下的矩阵为111213221222331323311akaaaaakkakaaB．3）由于从123,,到1223,,的过渡矩阵为100110001X，故在基1223,,下的矩阵为-4-1111213111212133212223211122122212231331323331323233100100110110001001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaB．『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设是线性空间V上的线性变换，如果1k0，但k0，求证：1,,,k（0k）线性无关．证明由于k0，故对于任意的非负整数i，都有()kiik0．当0k时，设112knxxx0，用1k作用于上式，得11kx0，但1k0，因此10x．于是12knxx0，再用2k作用上式，同样得到20x．依此下去，可得120kxxx．从而1,,,k线性无关．16．证明：n21与niii21相似，其中niii,,,21是1,2,,n的一个排列．『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1设V是一个n维线性空间，且12,,,n是V的一组基．另外，记12nA，12niiiB．-5-于是，在基12,,,n下，矩阵A对应V的一个线性变换，即12121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnA．从而iii，1,2,,in．又因为12,,,niii也是V的一组基，且12121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnniiiiiiiiiiiiB．故A与B相似．证法２设12nA与12niiiB．对A交换,ij两行，再交换,ij两列，相当于对A左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)ijijPP和(,)ijP，而1(,)(,)ijijPAP即为将A中的i和j交换位置得到的对角矩...
