1例1在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．例2在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．例3在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．例4如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．(Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；(Ⅱ)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．2一、选择题：1．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是()(A)若m∥，n∥，则m∥n(B)若m⊥，n⊥，则m∥n(C)若⊥，⊥，则∥(D)若m∥，m∥，则∥2．已知直线m，n和平面，，且m⊥n，m⊥，⊥，则()(A)n⊥(B)n∥，或n(C)n⊥(D)n∥，或n3．设a，b是两条直线，、是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()(A)a⊥，b∥，⊥(B)a⊥，b⊥，∥(C)a，b⊥，∥(D)a，b∥，⊥4．设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A)在平面内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面垂直二、填空题：5．在三棱锥P－ABC中，6PBPA，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，则PC＝______．6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1(只要求写出一种条件即可)7．设，是两个不同的平面，m，n是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n②⊥③n⊥④m⊥以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题______．8．已知平面⊥平面，∩＝l，点A∈，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，m∥，给出下列四种位置：①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥；④AC⊥，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是______．三、解答题：9．如图，三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点．(Ⅰ)求MN的长；(Ⅱ)求证：PA⊥BC．10．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：3(Ⅰ)直线EF∥平面ACD；(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD．11．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，AFBEAFBEADBC21,//,21，G，H分别为FA，FD的中点．(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；(Ⅱ)C，D，F，E四点是否共面?为什么?(Ⅲ)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．12.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．13.在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，542DCAB．(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．4专题七立体几何参考答案练习7-1一、选择题：1．B2．D3．C4．B二、填空题：5．106．AC⊥BD(或能得出此结论的其他条件)7．②、③、④①；或①、③、④②8．④三、解答题：9．(Ⅰ)解：连接MB，MC．∵三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，∴23MCMB，且底面△ABC也是边长为1的等边三角形．∵N为BC的中点，∴MN⊥BC．在Rt△MNB中，2222BNMBMN(Ⅱ)证明：∵M是PA的中点，∴PA⊥MB，同理PA⊥MC．∵MB∩MC＝M，∴PA⊥平面MBC，又BC平面MBC，∴PA⊥BC．10．证明：(Ⅰ)∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．又EF平面ACD，AD平面ACD，∴直线EF∥平面ACD．(Ⅱ)∵EF∥AD，AD⊥BD，∴EF⊥BD．∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面CEF．∵BD平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD．11．(Ⅰ)由题意知，FG＝GA，FH＝HD，∴GH∥AD，,21ADGH又BC∥AD，ADBC21，∴GH∥BC，GH＝BC，5∴四边形BCHG是平行四边形．(Ⅱ)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF，AFBF21，G是FA的中点，得BE∥FG，且BE＝FG．∴EF∥BG．由(Ⅰ)知BG∥CH，∴EF∥CH，故EC，FH共面，又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．(Ⅲ)连结EG，由AB＝BE，BE∥AG，BE＝AG及∠BAG＝90°，知ABEG是正方形，故BG⊥EA．由题设知FA，AD，AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，∴BG⊥AD．∴BG⊥平面EAD，∴BG⊥ED．又ED∩EA＝E，∴BG⊥平面ADF．由(Ⅰ)知CH∥BG，∴CH⊥平面ADE．由(Ⅱ)知F∈平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE．
