13.4数学归纳法一、填空题1．用数学归纳法证明1＋＋…＋＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．解析n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，右边＝2.答案1＋＋＜22.用数学归纳法证明：＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是.解析当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋故只需证明＋＝即可.答案＋＝3．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析 f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)23．若存在正整数m，使得f(n)＝(2n－7)3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m＝________.解析f(1)＝－6，f(2)＝－18，f(3)＝－18，猜想：m＝－6.答案64．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案(k＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上________．解析 当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)26．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上________．解析 当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－当n＝k＋1时，左侧＝1－＋－＋…＋－＋－.答案－7.设平面内有n条直线其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).答案:52)解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.∴f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…f(n)-f(n-1)=n-1.累加得f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1).∴2).8．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取________．解析右边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.答案89．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝(a1＋a2)＝；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，故猜想an＝.答案an＝10．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n＋1)(n∈N*)，从“k到k＋1”左端需乘的代数式是________．解析左端需乘的代数式是＝2(2k＋1)．答案2(2k＋1)11．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________．111121133114641…解析所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.答案2n－2n12．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法中________________（哪一步推理）不正确.解析此同学从n＝k到n＝k＋1的推理中没有应用归纳假设．答案从n＝k到n＝k＋1的推理13．12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2，当n分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析当n＝1时，原式＝12＝1＝(－1)1－1·当n＝2时，原式＝12－22＝－3＝(－1)2－1·当n＝3时，原式＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·当n＝4时，原式＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·∴猜想原式＝(－1)n－1·.答案1，－3,6，－10(－1)n－1·二、解答题14．已知数列{an}满足an＋1＝－a＋pan(p∈R)，且a1∈(0,2)，试猜想p的最小值，使得an∈(0,2)对n∈N*恒成立，并给出证明．证明当n＝1时，a2＝－a＋pa1＝a1(－a1＋p)．因为a1∈(0,2)，所以欲...
