相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABCsAABC，AABCsAABC，则AABCAABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：AABCsACDE.(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABCsACDE.变式:1、如图，AABC中,ZACB=60。，点P是AABC内一点，使得ZAPB=ZBPC=ZCPA,求证：AAPCsACPB.2、已知APQR是等边三角形，ZAPB=120。，指出图中的相似三角形并证明.D例2、(1)已知：如图，AABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADEsAACB；②AAEBsAADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEFsACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，AABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，AADBsAEAC?②当AADBsAEAC时，求ZDAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知ZBAE=ZCAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在AABC和AADB中，ZABC=ZADB=90。,AC=5,AB=4,当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？例4、(1)如图，已知D为AABC内一点，E为AABC外一点，且Z1=Z2,Z3=Z4,求证：AABCsADBE.(2)如图，在AABC中，点D在边BC上，联结AD,ZADB=ZCDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F，且AD2=DE-DF.求证：ABFDsACAD；变式：1、如图，BD,CE是AABC的高，求证：ZAED=ZACB.2、如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC,AC于点F，G，且CD-AE=AC-AG.求证：AD2=GD-DE.★判定定理3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.(3)已知RtAABC中，ZACB=90°，点D在BC边上,取AD、AB的中点E、F，连接CE、CF、EF，求证：ACEFsAADB.变式：如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC=4BF,那么图中与AADE相似的三角B.ABD.ABEF,AEDF例5、(1)如图，在正方形网格上的三角形①，②，③中，与AABC相似的三角形ABADsACAE.A.ACDF1、如图所示，给出下列条件：①ZB=ZACD②ZADC二ZACB；③ACAB~B自我测评④AC2二AD-AB.其中单独能够判定AABC-△ACD的是.（填番号）2、如图，AD是RtAABC斜边BC上的高，DE丄DF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则AF-BD二AD-BE吗？说说你的理由.3、如图，在AABC中，点D在边AC上，AE分别交线段BD、边BC于点F、G,Z1=Z2,AF-BF二DF-EF，求证：BF2二FG-EF.4、已知：如图，竺=匹=兰，求证：AB=AE.ACABBCEC
