1/7近世代数课后习题参考答案第五章扩域1扩域、素域1.证明:)(SF的一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集是一个域.证一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集为1)若ba,则一定有),,(2,1nFa),,(2,1mFb易知mnFba,,,,,,(2121但),,,,,,(2121mnF从而ab2)若,,ba且0b则),,,(21mFb从而有),,,,,,(21211mnFab２单扩域１．令E是域F的一个扩域，而Fa证明a是F上的一个代数元，并且FaF)(证因0aa故a是F上的代数元．其次，因Fa，故FaF)(易见FaF)(，从而FaF)(２．令F是有理数域．复数i和112ii在F上的极小多项式各是什么？)(iF与)112(iiF是否同构？证易知复数i在F上的极小多项式为112,12iix在F上的极小多项式为252xx因)112()(iiFiF故这两个域是同构的．３．详细证明，定理３中a在域F上的极小多项式是)(xp证令是)(xF中的所有适合条件0)(af的多项式作成)(xf的集合．1)是)(xF的一个理想(ⅰ)若)(),(xgxf则0)(,0)(agaf因而0)()(agaf故)()(xgxfⅱ)若)(,)(xhxf是)(xF的任一元那么0)()(afah则)()(xfxh2)是一个主理想设)(1xp是中a！的极小多项式2/7那么，对中任一)(xf有)()()()(1xrxqxpxf这里0)(xr或r(x)的次数但)()()()(1xRaqapaf因)(,0)(1apaf0所以0)(ar若0)(xr则与xp1是a的极小多项式矛盾．故有)()()(1xqxpxf因而)((1xp（３）因p(a)=0故p(x))()(1xpxP因二者均不可约，所以有)()(1xapxp又)(),(1xpxp的最高系数皆为1那么1a这样就是)()(1xPxp４．证明：定理３中的KaF)(证设,Kf，则在定理３的证明中，'KK之下有．axaxafnnnn11但,xa11aa故必011aaafnnnn这就是说)(Fk因而KaF)(３代数扩域１．令E是域F的一个代数扩域，而是E上的一个代数元，证明是E上的一个代数元证因为是F上的代数元所以nneee10又因为E是F的代数扩域，从而),,(10neeeF是F的代数扩域，再有是),,(10neeeF上的代数元，故),,(10neeeF()(nneeeeF,,,,(110)的有限扩域，由本节定理１，知),,,,,(110nneeeeF是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元．２．令F,E和L是三个域，并且FE，假定(:)IFm而E的元在F上的次数是n，并且1),(nm3/7证明在I上的次数也是１证设rII:)((因为FII)(由本节定理1rmFaI):)((另一方面，因为FIFF:)(():)((仍由本节定理！！即有rmn但由题设知1),(nm故rn又在I上的次数是r，因而其在I上的极小多项式的次数是１在I上的次数是n，因而其在F上的极小多项式的次数是n由于在上的极小多项式能整除在F上的极小多项式所以nr因而nr３．令域！的特征不是２，E是F的扩域，并且4):(FE证明存在一个满足条件EIF的E的二次扩域F的充分与必要条是：4):(FE，而在F上的极小多项式是baxx24证充分性：由于在F上的极小多项式为baxx24故Fa2及)(22Fa因而1):)((2FaF由本节定理１知：所以2):)((2FaF这就是说，)(aF是一个满足条件的的二次扩域必要性：由于存在I满足条件EIF且为F的二次扩域即2):1(F因此可得（2)1:(E我们容易证明，当F的特征不是２时，且则而！在！上的极小多项式是！同样)(aIE而在fx2上的极小多项式是这样,,2FffIii,2那么22212122ffffi所以24i4/722221212ffff222212122ffff令12fafffb2221同时可知ba,均属于F024ba由此容易得到0(aFE４．令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元m,,21使),,(21mFE证因为E是F的一个有限扩域，那么把E看成F上是向量空间时，则有一个基n,,21显然这时),,(21mFE５．令F是有理数域，看添加复数于F所得扩域＂)2,2(31311iFE)2,2(31312wiFE证明6):(,2)2((131FEF证易知！在！上的极小多项式是！即（3:)2(32FF同样312上的极小多项式是322324222xx即4))2((31;2FE由此可得（12):(,6):(21FFFE４多项式的分裂域１．证明：有理数域F上多项式14x的分裂域是一个单扩域)(aF其中a是14x的一个根证14x的４个根为2222,2222,2222,22223210iaiaiaia又aaaaaa31211,;所以)(),,,(321aFaaaaF２．令F是有理数域，ax3是F上一个不可约多项式，而a是ax3的一个根，证明)(aF不是ax3在F上的分裂域．证由于a是ax3的一个根，则另外两个根是2,aa，这里，2是5/712xx的根若)(aF是ax3的在H上的分裂域那么)(,2aFaa这样，就是)()(aFFF由3。3定理！有但))(():)((FaFFF此为不可能.３．令)(,),(),(21xpxPxpm是域F上m个最高系数为1的不可约多项式...
