高考数学一轮总复习 必考解答题 模板成形练 立体几何 理 苏教版VIP免费

必考解答题——模板成形练(二)立体几何(建议用时：60分钟)1．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝，AD＝CD＝1.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.证明(1)在四边形ABCD中，因为BA＝BC，DA＝DC，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，又因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为BC中点，所以AE⊥BC，又因为在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝，DA＝DC＝1，所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥DC，因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，BC⊥平面PAB，∠APB＝90°，PB＝BC，N为PC的中点．(1)若M为AB的中点，求证：MN∥平面ADP；(2)求证：平面BDN⊥平面ACP.证明(1)设AC∩BD＝G，连接NG，MG，易知G是AC，BD的中点，又N是PC的中点，M为AB的中点，∴NG∥PA，MG∥AD，∴平面GMN∥平面APD.又MN⊂平面GMN，∴MN∥平面APD.(2)∵BC⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，∴BC⊥PA，∵∠APB＝90°，∴BP⊥PA.∵BC∩BP＝B，∴PA⊥平面PBC，∴BN⊥PA.∵PB＝BC，点N为PC的中点，∴BN⊥PC.∵PC∩PA＝P，∴BN⊥平面ACP.又BN⊂平面BDN，∴平面BDN⊥平面ACP.3.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：EF⊥CD；证明(1)取PD的中点G，连接AG，FG.因为FG为△PCD的中位线，所以FG∥CD，且FG＝CD，又AE∥CD，且AE＝CD，所以AE∥FG，且AE＝FG，故四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.因为AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG.又EF∥AG，所以EF⊥CD.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，连接A′C，A′B，F为A′C的中点，A′C＝4.(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求证：FB∥平面A′DE.证明(1)由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成，∴△A′DE≌△ADE.∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝60°.又∵AD＝AE＝2，∴△A′DE和△ADE都是等边三角形．连接A′M，MC.∵M是DE的中点，∴A′M⊥DE，A′M＝.在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DM·cos60°＝42＋12－2×4×1·cos60°，∴MC＝.在△A′MC中，A′M2＋MC2＝()2＋()2＝42＝A′C2.∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC.又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A′M⊥平面BCD.又∵A′M⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面BCD.(2)取DC的中点N，连接FN，NB.∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，∴FN∥A′D.又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，∴BN∥DE.又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.