常考问题11基本不等式及其应用[真题感悟]1．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析设过坐标原点的一条直线方程为y＝kx，因为与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，所以k＞0，且联立解得P，Q，所以|PQ|＝＝≥4.答案42．(·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则当a________时，＋取得最小值．解析因为＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋取得最小值时，a＝－2.答案－23．(·南京模拟)若不等式4x2＋9x2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为________．解析由4x2＋9x2≥2kxy(x＞0，y＞0)，得2k≤＋.因为＋≥2＝12，所以2k≤12，又k∈Z，所以k≤3，即kmax＝3.答案34．(·山东卷改编)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝－＝－2＋1≤1.答案1[考题分析]高考对本内容的考查主要有：基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.
