常考问题7平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟]1.(·江苏卷)已知e1,e2是夹角为π的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a·b=0,则k的值为________.解析因为e1,e2是夹角为π的两个单位向量,所以e1·e2=cos〈e1,e2〉=cos=-,又a·b=0,所以(e1-2e2)·(ke1+e2)=0,即k--2+(-2k)=0,解得k=.答案2.(·江苏卷)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=,则AE·BF的值是________.解析以顶点A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),设F(x,2),所以AB·AF=(,0)·(x,2)=x=⇒x=1,即F(1,2),所以AE·BF=(,1)·(1-,2)=(1-)+2=.答案3.(·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________.解析因为向量a,b为单位向量,又向量a,b的夹角为60°,所以a·b=,由b·c=0,得∴b·c=ta·b+(1-t)·b2=t+(1-t)×12=t+1-t=1-t=0.∴t=2.答案24.(·山东卷)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为________.解析由AP⊥BC知AP·BC=0,即AP·BC=(λAB+AC)·(AC-AB)=(λ-1)AB·AC-=(λ-1)×3×2×-λ×9+4=0,解得λ=.答案[考题分析]高考对本内容的考查主要有:平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级,只有平面向量的应用为A级要求,平面向量的数量积为C级要求,应特别重视.试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与三角函数综合考查,构成中档题.