探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习（一）从1，2…，，这个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]=4，[2.1]=2，若y=x[x]，下列命题：①当x=0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y随着x增大而一直增大．其中正确命题有______①（只填写正确命题的序号）．已知数列{an}：a1，a2…，，an（0≤a1＜a2…＜an），n≥3时具有性质P：对任意的i，j（1≤i＜j≤n），aj+ai与ajai两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③数列{an}具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．其中真命题的序号为②③④．（所有正确命题的序号都写上）若数列An：a1，a2…，，an（n≥2）满足|ak+1ak|=1（k=1，2…，，n1），则称An为E数列，记S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=13，n=，求证：若An是递增数列，则an=；反之亦成立；（Ⅲ）在a1=4的E数列An中，求使得S（An）=0成立得n的最小值．探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习参考答案61．详解：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，另一方面，设a1＜a2＜an是从1，2…，，中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，因为33|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am），所以33|（ajai），∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，设ai=a1+33di，i=1，2，3，n，由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），所以33|3a1，11|a1，即1120101111,613333nnaaad，故dn≤60，所以n≤61，综上所述，n的最大值为61．①．详解：①根据题意可得[x]=1，所以y=x[x]=0.5（1）=0.5，所以此命题正确；②中y的取值范围是：0≤y＜1，错误；③当x取一正一负时，函数值y有可能随着x增大而一直增大，错误．正确命题只有①．②③④．详解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与ajai两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3a2=31=2都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，aj+ai与ajai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4a3=2是该数列中的项，故②正确；③若数列{an}具有性质P，则an+an=2an与anan=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2…＜＜an，n≥3，而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3，∴a1+a3与a3a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项∴a3a2=a2，∴a1+a3=2a2．2°若a3a1是该数列中的一项，则a3a1=a1或a2或a3，①若a3a1=a3同1°，②若a3a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，③a3a1=a1，则a3=2a1，综上a1+a3=2a2．故④正确．故答案为：②③④．（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）见详解；（Ⅲ）9．详解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，1，0，1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，1，2或0，±1，0，1，0都满足条件的E数列A5）（Ⅱ）∵E数列An是递增数列，∴ak+1ak=1（k=1，2…，，1999），∵a1=13，n=，∴An是首项为13，公差为1的等差数列，∴a=13+（1）×1=．反之：由于aa1999≤1，a1999a1998≤1…，a2a1≤1，所以aa1≤1999，即a≤a1+1999，又因为a1=13，a=，所以a≤a1+1999．故ak+1ak=1＞0（k=1，2…，，1999），即An是递增数列．综上所述，若An是递增数列，则an=；反之亦成立．（Ⅲ）对首项为4的E数列An，由于a2≥a11=3，a3≥a21≥2，…，a8≥a71≥3…，所以a1+a2+…+ak＞0（k=2，3…，，8），所以对任意的首项为4的E数列An，若S（An）=0，则必有n≥9，又a1=4的E数列A9：4，3，2，1，0，1，2，3，4满足S（A9）=0，所以n的最小值是9．
