第四关以平面几何图形的变换为背景的解答题1．如图，中，于，且．（）试说明是等腰三角形．（）已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）．①若的边与平行，求的值．②若点是边的中点，问在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①为或；②能，值为或或，理由见解析在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10－t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t－4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t－4，过点E做EF垂直AB于F，因为ED＝EA，所以DF＝AF＝AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．学/科**网2．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．（1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积.（2）探究：小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即．你认为他的发现正确吗？试说明理由．（3）应用：①如图2，在△ABC中，，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．②如图3，在△ABC中，，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．【答案】（1）28；（2）证明见解析；（3）①；②【解析】试题分析：（1）由于对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积可化为AO•BD+CO•BD的和；（2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB2、CD2、AD2、BC2；（3）①过点P作PD⊥AC于点D，构造△PAD∽△BAC后，利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出关于t的方程；②故答案为：28；（2） 四边形ABCD是“垂直四边形”，∴AC⊥BD.由勾股定理可知：AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2)，AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)，∴AB2+CD2=AD2+BC2；∴AP=5t，CQ=6t∴，∴AD=3t，PD=4t. 四边形BCQP是“垂直四边形”.∴BP2+CQ2=PQ2+BC2.∴(10-5t)2+(6t)2=(6-9t)2+82，解得t=或t=0（舍去）.∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为.②如图3，连接CG、BG、BE、CE，CE与BG交于点O由题意知：EA=BA，AC=AG∠EAB=∠CAG=90°∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC∴∠EAC=∠BAG在△EAC与△BAG中，点睛：本题考查的是垂直四边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键.3．在四边形中，，对角线平分.学科..网（1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若，探究边、与对角线的数量关系并说明理由.【答案】（1）.证明见解析；（2）成立；（3）.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=AC，AB=AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB＝AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如图1中，（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为...
