多面体及球体的概念、性质、计算典型例题：例1.（年全国课标卷理5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为【】【答案】。【考点】三棱锥的性质。【解析】 的外接圆的半径，∴点到面的距离。又 为球的直径，∴点到面的距离为。∴此棱锥的体积为。故选。例2.（年全国课标卷文5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为【】（A）π（B）4π（C）4π（D）6π【答案】B。【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。【解析】由勾股定理可得球的半径为，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：。故选B。例3.（年江西省理5分）如下图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为【】【答案】A。【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。【解析】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：观察图形可知，当时，随着的增大，单调递减，且递减的速度越来越快，不是的线性函数，可排除C，D。当时，随着的增大，单调递减，且递减的速度越来越慢，可排除B。只有A图象符合。故选A。如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃，并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下：连接AC，BD，二者交于点O，连接SO，过点E作底面的垂线EH。当E为SC中点时， SB＝SD＝BC＝CD，∴SE⊥BE，SE⊥DE。∴SE⊥面BDE。∴当时，截面为三角形EBD，截面下面部分锥体的底为BCD。又 SA＝SC＝1，AC＝，SO＝。此时。∴。当时，截面与AD和AB相交，分别交于点F、D，设FG与AC相交于点I，则易得。由EH∥SO，得，即。由EI∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。∴。∴。当时，截面与DC和BC相交，分别交于点M、N，设MN与AC相交于点J，则易得。由EH∥SO，得，即。由EJ∥SA，得，即。易知是等腰直角三角形，即。∴。∴。综上所述，。结合微积分知识，可判定A正确。例4.（年湖北省理5分）“”我国古代数学名著《九章算术》中开立圆术曰：置积尺数，“”以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，开立圆术相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是【】A.B.C.D.【答案】D。【考点】球的体积公式以及估算。【解析】由球的体积公式得，由此得。对选项逐一验证：对于A.有，即；对于B.有，即；对于C.有，即；对于D.有，即；∴中的数值最接近。故选D。例5.（年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是【】（A）（B）（C）（D）【答案】A。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示，设四面体的棱长为，取中点P，连接，所以，在中，由勾股定理得=。∴在中，。 ，∴。∴∴。故选A。例6.（年上海市理4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为▲.【答案】33。【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到2212l，解得母线长2l，1,22rlr所以该圆锥的体积为：331231S3122hV圆锥。例7.（年上海市文4分）一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为▲【答案】。【考点】圆柱的表面积。【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：。例9.（年上海市理4分）如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是▲.【答案】13222cac。【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。【解析】作于，连接，则 ，，∴⊥平面。又 平面，∴。由题设，，∴与都在以为焦距的椭球上，且、都垂直于焦距所在直线。∴=。取中点，连接， ，∴⊥，，。∴。∴四面体的体积。显然，当在中点，即是短轴端点时，有最大值为。∴。例1...
