限时集训(三十四)数列的综合问题(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值()A．2B．4C．8D．162．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为()A.B．4C．2D.3．(·泉州模拟)满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．124．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5、6月B．6、7月C．7、8月D．8、9月5．数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为()A．470B．490C．495D．5106．(·株州模拟)在数列{an}中，对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为()A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．8．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.9．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(n∈N*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设同时满足条件：①≥bn＋1；②bn≤M(n∈N*，M是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列为“嘉文”数列．11.已知正项数列{an}，{bn}满足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设Sn＝＋＋…＋，试比较2Sn与2－的大小．12．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2knan，求数列{bn}的前n项和Tn；(3)设Q＝{x|x＝kn，n∈N*}，R＝{x|x＝2an，n∈N*}，等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110＝＝，满足条件①；由于＝≤，故存在M≥满足条件②.故数列为“嘉文”数列．11．解：(1) 对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且数列{an}，{bn}均为正项数列，∴an＝bnbn＋1(n∈N*)．由a1＝3，a2＝6得又{bn}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2，解得b1＝，b2＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．∴数列{bn}的通项公式为bn＝(n∈N*)．(2)由(1)得，对任意n∈N*，an＝bnbn＋1＝，从而有＝＝2，∴Sn＝2－＋－＋…＋－＝1－.∴2Sn＝2－.又2－＝2－，∴2Sn－＝－＝.∴当n＝1，n＝2时，2Sn<2－；当n≥3时，2Sn>2－.12．解：(1) 点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，∴Sn＝n2＋2n(n∈N*)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(2)由f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2. 过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn，∴kn＝2n...
