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第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号通过最值(极值)判断零点个数2,3,7,8数形结合法研究零点问题1,5构造函数法研究零点问题4,61.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.解:(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a<0时,对x∈R,有f′(x)>0,所以当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).当a>0时,由f′(x)>0,解得x<-或x>.由f′(x)<0,解得-0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为(-,).(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,第1页共12页所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图像可知,实数m的取值范围是(-3,1).2.已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.解:(1)由f(x)=x2+xsinx+cosx,得f′(x)=x(2+cosx).因为y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切.所以f′(a)=a(2+cosa)=0且b=f(a),则a=0,b=f(0)=1.(2)令f′(x)=0,得x=0.所以当x>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,第2页共12页所以f(x)的最小值为f(0)=1.因为函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,b的取值范围是(1,+∞).3.(2016长春模拟)设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解:(1)f′(x)=-a≤0在(1,+∞)上恒成立,则a≥,x∈(1,+∞),故a≥1;g′(x)=ex-a,若1≤a≤e,则g′(x)=ex-a≥0在(1,+∞)上恒成立,此时,g(x)=ex-ax在(1,+∞)上是单调增函数,无最小值,不合题意;若a>e,则g(x)=ex-ax在(1,lna)上是单调减函数,在(lna,+∞)上是单调增函数,g(x)min=g(lna),满足题意.故a的取值范围为(e,+∞).(2)g′(x)=ex-a≥0在(-1,+∞)上恒成立,则a≤ex,故a≤,f′(x)=-a=(x>0).①若00,得增区间为(0,);令f′(x)<0得减区间为(,+∞).当x→0时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→-∞;当x=时,f()=-lna-1≥0,当且仅当a=时取等号.故当a=时,f(x)有1个零点;当00在(0,+∞)上恒成立,即f(x)=lnx-ax在(0,+∞)上是单调增函数,当x→0时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→+∞.此时,f(x)有1个零点.综上所述,当a=或a≤0时,f(x)有1个零点;当00.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.(1)解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a),第4页共12页所以g′(x)=2-=.当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.(2)证明:由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.令(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,则(1)=1>0,(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1).由u′(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故0=u(1)f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0.故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.5.已知f(x)=x2+3x+1,g(x)=+x.(1)a=2时,求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数;(2)a为何值时,y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个.第5页...

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第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号通过最值(极值)判断零点个数2,3,7,8数形结合法研究零点问题1,5构造函数法研究零点问题4,61

已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0

(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围

解:(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a0,所以当a0时,由f′(x)>0,解得x

由f′(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当xe,则g(x)=ex-ax在(1,lna)上是单调减函数,在(lna,+∞)上是单调增函数,g(x)min=g(lna),满足题意

故a的取值范围为(e,+∞)

(2)g′(x)=ex-a≥0在(-1,+∞)上恒成立,则a≤ex,故a≤,f′(x)=-a=(x>0)

①若00,得增区间为(0,);令f′(x)

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