三角形“四心”向量形式的充要条件应用1.O是ABC的重心0OCOBOA;若O是ABC的重心,则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;为的重心.2.O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;若O是ABC(非直角三角形)的垂心,则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC::::故0OCCtanOBBtanOAAtan3.O是ABC的外心|OC||OB||OA|(或222OCOBOA)若O是ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC::::故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin4.O是内心ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e,则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131,O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa。若O是ABC的内心,则cbaSSSAOBAOCBOC::::故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析:因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为,又1ACBCCP,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在中,AP平分,则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是△ABC所在平面内任一点,点H是△ABC的垂心.由,同理,.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的(D)A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由.即则所以P为的垂心.故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是△ABC所在平面内一点,=0点G是△ABC的重心.证明作图如右,图中连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上的中线.将代入=0,得=0,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))例5.P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明 G是△ABC的重心∴=0=0,即由此可得.(反之亦然(证略))例6若为内一点,,则是的()A.内心B.外心C.垂心D.重心解析:由得,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则,由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点,,则是的()A.内心B.外心C.垂心D.重心解析:由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心,选B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8.已知向量,,满足条件++=0,||=||=||=1,2AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题)证明由已知+=-,两边平方得·=,同理·=·=,∴||=||=||=,从而△P1P2P3是正三角形.反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有++=0且||=||=||.即O是△ABC所在平面内一点,++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.例9.在△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:由题设可设,即,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2例10.若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证3.证明若△ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.∴,.又垂心为H,,,∴AH∥CD,CH∥AD,∴四边形AHCD为平行四边形,∴,故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系:(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”;(2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.例11.设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由...