数列中蕴涵的数学思想数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学思想与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习理解和应用过程，是学生形成数学能力的必由之路。而数列知识中蕴涵着丰富的数学思想。一、函数与方程思想例1、在等差数列中，已知，，那么=。解法1：设数列的公差为d，则解得∴评析：方程思想突出研究已知量与未知量间的等量关系，通过列方程（组）达到求值的目的。本题利用等差数列的性质：来列方程组求解，思路简洁、明晰，体现了方程的思想。解法2：由于为等差数列，故前项和：。令，，则：。此时可视为的二次函数。由题意得：解得：∴则评析：函数思想贯穿于高中代数的全部内容，在研究数列时，函数与方程思想起着十分重要的作用。本题利用等差数列的求和公式：，在时，可视是关于的二次函数，从而利用方程组来求解。这就是函数思想的体现。例2、已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数。解：因为是等比数列，所以（为公比）即所以整理得即对于一切自然数都成立。而＞，＞，所以解得或所以或。评析：此题从数列与方程的交汇处着手，根据等比数列的定义，得出一个关于自然数的恒等式，进而列方程组求解。这其中蕴涵着函数和方程的思想。二、数形结合思想例1、设等差数列中，为前项的和，且，求。分析：等差数列的前项和公式为。当时，是的二次函数。设，又，故对称轴为。由二次函数对称性知：。评析：数形结合就是使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应关系，使数量关系与图形性质相互转化。本题借助二次函数的对称性，利用数形结合思想使数列问题更直观、明了。例2、在数列中，。问为何值时，取得最大值和最小值？解：，设函数，其图象如图所示：则满足的和的值为函数图象上的点。易知最小，最大。评析：数形结合就是“数”与“形”的相互转化，但解决过程中往往偏重于由“数”到“形”的转化。三、分类讨论思想例1、已知等比数列的前项之和为，前项之和为，公比＞。令，求。解：当时，，。当时，∴若＜＜时，；若＞时，。综上，评析：分类讨论经常运用于含字母系数的数学问题，要注意正确进行分类，选取恰当的标准，进行不重yxO81不漏的划分。本题中等比数列的前项和要分和两种情况分别讨论。例2、已知数列满足（，，），且首项为，求通项。解：当时， ∴……（1）令，则即由（1）得：∴是以为首项，公比为的等比数列。故当时，，即，则是等差数列，故。综上，当时，；当时，。评析：本题中容易误认为，从而忽视对是否为1的讨论。解题中要注意讨论的分类标准和分类的完整。四、化归与转化思想例1、等差数列前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（）。（A）130（B）170（C）210（D）260解：令，则，。故，则公差。∴∴故选（C）项。评析：化归与转化思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而使问题得到解决。其特点在于灵活性和多样性，常用变换方法有一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等。由于本题是选择题，因此可利用化归思想中从一般到特殊的思想。对进行赋值，令，较易得出答案，使解法简单化。例2、定义：若数列对任意，满足（为常数）。则称数列为等差比数列。（1）若数列的前项和满足，求的通项公式，并判断该数列是否为等差比数列；（2）若数列为等差数列，试判断是否一定为等差比数列，并说明理由；（3）试写出一个等差比数列的通项公式，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列。解：（1）当时，，（1），（2）（1）-（2）得，所以，即。又，所以，。任给，，故数列为等差比数列。（2）设等差数列的公差为，则。当时，（1为常数）。从而数列是等差比数列。当时，即数列是常数列时，不是等差比数列。（3）通项如形式的数列，如，不是等差数列，也不是等比数列，但为常数，是等差比数列。评析：本题把一个新定义的数列问题，通过分析、类比，转化为等差（比）数列，把未知转化为已学、已知，体现了化归这一基本思想。五、特殊与一般思想例1、已知数列中，，且，，其中=1，2，3，……。（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求...
