课时提升练(五十七)二项式定理一、选择题1．若n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()A．－5B．5C．－405D．405【解析】令x＝1得2n＝32，所以n＝5，于是5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kC·(3x)5－kk＝(－1)kC35－kx5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，于是展开式中含x3的项的系数为(－1)1C34＝－405，故选C.【答案】C2．设6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则＝()A．4B.－4C．26D.－26【解析】Tk＋1＝Cx6－kk＝C(－2)k·x6－，令6－＝3，即k＝2，所以T3＝C(－2)2x3＝60x3，所以x3的系数为A＝60，二项式系数为B＝C＝15，所以＝＝4，选A.【答案】A3．若6的展开式中常数项为，则实数a的值为()A．±2B.C．－2D.±【解析】6的展开式通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Crx12－3r，令12－3r＝0，则有r＝4.故C4＝，即4＝，解得a＝±2.【答案】A4．(2014·银川模拟)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为()A．－28B.28C．－7D.7【解析】由题意知，＋1＝5，解得n＝8，8的展开式的通项为Tk＋1＝C8－k·k＝(－1)kC8－k·x8－k.令8－k＝0，得k＝6，所以所求项为(－1)6C·2＝7.【答案】D5．(2012·安徽高考)(x2＋2)5的展开式的常数项是()A．－3B.－2C．2D.3【解析】二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.【答案】D6．(2014·商丘模拟)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74B.121C．－74D.－121【解析】展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.【答案】D7．(2014·福州模拟)已知8展开式中常数项为1120，其中a是常数，则展开式中各项系数的和是()A．28B.38C．1或38D.1或28【解析】由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a)8＝1或38.【答案】C8．(2013·陕西高考)设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B.20C．－15D.15【解析】∵f(x)＝∴当x>0时，f(x)＝－<0，∴f[f(x)]＝f(－)＝6＝6，∴展开式中常数项为C()33＝－C＝－20.【答案】A9．(x－1)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，则a6＝()A．112B.28C．－28D.－112【解析】(x－1)8＝[(x＋1)－2]8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，∴a6＝C(－2)2＝4C＝112.【答案】A10．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是()A．－1B.1C．－87D.87【解析】1－90C＋902C－…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.【答案】B11．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．36B．46C．34D．44【解析】二项式的展开式为1＋C()1＋C()2＋C()3＋()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，所以a＝28，b＝16，所以a＋b＝28＋16＝44，选D.【答案】D12．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B.60C．120D.210【解析】因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.【答案】C二、填空题13．(2014·大纲全国卷)(x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)【解析】由Cx3(－2)3＝－160x3，得x3的系数为－160.【答案】－16014．二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．【解析】二项展开式的通项是Tr＋1＝Cx3n－3rx－2r＝Cx3n－5r，令3n－5r＝0，得n＝(r＝0,1,2，…，n)，故当r＝3时，n有最小值5.【答案】515．已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．【解析】由题设，得C＋×C＝2××C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不符合题意，舍去)，则8的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－rr，令r＋1＝4，得r＝3，则第四项为T4＝Cx53＝7x5.【答案】7x516．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2的值为________．【解析】设f(x)＝(－x)10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…－a9＋a10)＝f(1)f(－1)＝(－1)10(＋1)10＝1.【答案】1
