第58讲不等式的证明1.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值.2.[2018·深圳耀华实验学校模拟]若a>0,b>0,a+b=1.求证:(1)4a+1b≥9;(2)❑√2a+1+❑√2b+1≤2❑√2.3.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.4.[2018·武昌调研]设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.(1)求M;(2)当x∈M时,证明:x[f(x)]2-x2f(x)≤0.5.[2018·甘肃临泽一中模拟]已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+1)≥0的解集为[0,2].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c≥9.6.[2018·衡水模拟]已知函数f(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)2a2+2b2.7.[2018·银川一中模拟]已知函数f(x)=|x|-|x-1|.(1)若f(x)≥|m-1|的解集非空,求实数m的取值范围;(2)若正数x,y满足x2+y2=M,M为(1)中m可取到的最大值,求证:x+y≥2xy.8.[2018·郑州三模]已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.(1)证明:2a+b=2;(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.课时作业(五十八)1.解:∵(a+b+c)2a+2b+2c=[(❑√a)2+(❑√b)2+(❑√c)2]·❑√2a2+❑√2b2+❑√2c2≥❑√a·❑√2a+❑√b·❑√2b+❑√c·❑√2c2=18,且a+b+c=9,∴2a+2b+2c≥2,当且仅当a=b=c时取等号,∴2a+2b+2c的最小值为2.2.证明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴4a+1b=(a+b)4a+1b=4+4ba+ab+1≥5+2❑√4ba·ab=9(当且仅当a=2b时取等号).(2)欲证❑√2a+1+❑√2b+1≤2❑√2,只需证2a+1+2b+1+2❑√(2a+1)(2b+1)≤8,∵a>0,b>0,a+b=1,∴只需证❑√(2a+1)(2b+1)≤2,由基本不等式可得❑√(2a+1)(2b+1)≤(2a+1)+(2b+1)2=2,∴不等式❑√2a+1+❑√2b+1≤2❑√2成立.3.解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值为3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9(当且仅当p=q=r=1时取等号),即p2+q2+r2≥3.4.解:(1)由已知得f(x)={x-1,x≤2,3x-5,x>2.当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,解得x≤0,此时x≤0;当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,解得x≤43,显然不成立.故f(x)≤-1的解集M={x|x≤0}.(2)证明:当x∈M时,f(x)=x-1,于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14.令g(x)=-x-122+14,则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,∴g(x)≤g(0)=0,故x[f(x)]2-x2f(x)≤0.5.解:(1)f(x+1)≥0⇒m-|x-1|≥01⇒-m≤x≤1+m,由f(x+1)≥0的解集为[0,2],可知m=1.(2)证明:由(1)知1a+12b+13c=1,则a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c≥3+6=9,当且仅当a=2b=3c时等号成立.6.解:(1)当x≥3时,|x-3|1,所以11}.(2)证明:(a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2)=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),因为a,b∈M,所以a>1,b>1,因此a2>1,b2>1,所以a2-1>0,b2-1>0,所以(a2-1)(b2-1)>0,所以(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2成立.7.解:(1)由题可得f(x)={-1,x<0,2x-1,0≤x≤1,1,x>1,所以f(x)max=1,所以|m-1|≤1,解得0≤m≤2,所以实数m的取值范围为[0,2].(2)证明:由(1)知,M=2,所以x2+y2=2.因为x>0,y>0,所以要证x+y≥2xy,只需证(x+y)2≥4x2y2,即证2(xy)2-xy-1≤0,即证(2xy+1)(xy-1)≤0.因为2xy+1>0,所以只需证xy≤1,因为2xy≤x2+y2=2,所以xy≤1成立,所以x+y≥2xy.8.解:(1)证明:因为-ab2,显然f(x)在-∞,b2上单调递减,在b2,+∞上单调递增,所以f(x)的最小值为fb2=a+b2=1,即2a+b=2.(2)因为a+2b≥tab恒成立,所以a+2bab≥t恒成立.因为a+2bab=1b+2a=121b+2a(2a+b)=125+2ab+2ba≥92,当且仅当a=b=23时,a+2bab取得最小值92,所以t≤92,即实数t的最大值为92.
