高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第七章 第4课 空间中的垂直关系VIP专享VIP免费

第4课空间中的垂直关系【考点导读】1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。【基础练习】1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的必要条件。2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。3．已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是2个。4．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6。5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。6．在正方体中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。【范例导析】例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO. 底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在中,EO是中位线,∴PA//EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA//平面EDB（2） PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. 底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而平面PDC,∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC,∴又且,所以PB⊥平面EFD.例2．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；1（3）平面DEA⊥平面ECA。分析：（1）证明DE＝DA，可以通过图形分割，证明△DEF≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM⊥EA，取AC中点N，连结MN、NB，易得四边形MNBD是矩形。从而证明DM⊥平面ECA。证明：（1）如图，取EC中点F，连结DF。 EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC。∴DB⊥AB，EC⊥BC。 BD∥CE，BD＝CE＝FC，则四边形FCBD是矩形，DF⊥EC。又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE＝DA。（2）取AC中点N，连结MN、NB， M是EA的中点，∴MNEC。由BDEC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN。 DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA．又EAMN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM平面BDM，则平面ECA⊥平面BDM。（3） DM⊥平面ECA，DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA。点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。分析：（1）由于C1D所在平面A1B1C1垂直平面A1B，只要证明C1D垂直交线A1B1，由直线与平面垂直判定定理可得C1D⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D⊥AB1，只要过D作AB1的垂线，它与BB1的交点即为所求的F点位置。证明：（1）如图， ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1。 AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B。2（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求。 C1D⊥平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DFC1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF。点评：本题（1）的证明中，证得C1D⊥A1B1后，由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B，立得C1D⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。备用题．如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：．（2）当时，求三棱锥的体积．变式题．如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．求证：；解：在中，，在中，， ，∴． 平面平面，且...