第二讲数形结合思想配套作业一、选择题1．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为(B)A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个解析：判断方程的根的个数就是判断图象y＝a|x|与y＝|logax|的交点个数，画出两个函数图象(如右图所示)，易知两图象只有2个交点，故方程有2个实根．2．(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(A)A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c<0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<0解析：由函数f(x)的图象可知a>0，令x＝0⇒d>0，又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，可知x1、x2是f′(x)＝0的两根，由图可知x1>0，x2>0.∴⇒故A正确．3．定义在R上的偶函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[3，4]时，f(x)＝x－2，则(C)A．f＜fB．f＞fC．f(sin1)＜f(cos1)D．f＞f解析：由f(x)＝f(x＋2)知T＝2为f(x)的一个周期，设x∈[－1，0]，知x＋4∈[3，4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，画出函数f(x)的图象，如图所示：1A：sin＜cos⇒f＞f；B：sin＞cos⇒f＜f；C：sin1＞cos1⇒f(sin1)＜f(cos1)；D：sin＞cos⇒f＜f.4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1、抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(A)A．2B．3C.D.解析：记抛物线y2＝4x的焦点为F，是F(1，0)，注意到直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，于是抛物线y2＝4x上的动点P到直线l2的距离等于|PF|，问题即转化为求抛物线y2＝4x上的动点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离与它到焦点F(1，0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即等于＝2.故选A.5．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是(C)A．5B．8C.－1D.＋2解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，由抛物线的定义有d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.6．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：解法一因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋23－2＝8，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，故f(x)在(0，1)内的零点个数是1.解法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中作出两函数的图象(如下图所示)，可知B正确．27．(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C)A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．由得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．二、填空题8．当x∈(1，2)时，(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围为________．解析：在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象，若y＝logax过(2，1)，则loga2＝1，∴a＝2.结合图形，若使x∈(1，2)时，(x－1)2＜logax恒成立，则1＜a≤2.3答案：(1，2]三、解答题9．已知0＜x＜π，方程sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＋a＝0有3个实数根，求a的取值范围．解析：原方程可化为2＋sin2x＋cos2x＋a＝0，即sin＝－a－2.令f(x)＝sin(2x＋)(0＜x＜)，则原方程有3个实根等价于y＝f(x)与y＝－a－2有3个交点．由图象可得－1＜－a－2≤1，∴a的取值范围为[－3，－1)．10．已知圆C过椭圆＋y2＝1的右焦点，且圆心在x的正半轴上，且直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为2.(1)求圆C的标准方程；(2)从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．解析：(1)在椭圆＋y2＝1中，c2＝a2－b2＝1，所以c＝1，于是右焦点为(1，0)．设圆心为(t，0)(t＞0)，圆心到直线的距离为d＝.注意到弦长、半径、弦心距满足：＝r2－d2，即＋2＝(t－1)2，解之得t＝3或t＝－1(舍去)，半径r＝3－1＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图，不妨设P(x，y)，由于|PM|2＝|PC|2－|CM|2，且|PM|＝|PO|，所以|PO|2＝|PC|2－|CM|2，也即|PC|2－|PO|2＝|CM|2＝4，于是(x－3)2＋y2－(x2＋y2)＝4，即x＝，即点P所在曲线方程为x＝.要使|PM|最小，由|PM|2＝|PC|2－4，只需|PC|最小，也即圆心到直线x＝的距离最小，可知点P在x轴上时满足题意，即点P.45
