专题10.3二项式定理【考试要求】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【知识梳理】1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C增减性二项式系数C当k＜(n∈N*)时，是递增的当k＞(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与取得最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.【微点提醒】(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√【解析】二项式展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.【教材衍化】2.(选修2－3P31T4改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A.CB.CC.CD.(－1)m－1C【解析】(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.【答案】D3.(选修2－3P35练习A1(3)改编)的值为()A.2B.4C.2019D.2018×2019【答案】B【解析】原式＝＝22＝4.【真题体验】4.(2018·全国Ⅲ卷)的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.5.(2019·东营调研)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个递增数列，则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11).又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C，则k的最大值为6.6.(2018·浙江卷)二项式的展开式的常数项是________.【答案】7【解析】该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx＝Cx.令＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C×＝7.【考点聚焦】考点一通项公式及其应用角度1求二项展开式中的特定项【例1－1】(1)(2019·北京海淀区二模)(x2＋1)的展开式的常数项是()A.5B.－10C.－32D.－42(2)的展开式中所有的有理项为________.【答案】(1)D(2)x2，－，x－2【解析】(1)由于的通项为C··(－2)r＝C·(－2)r·x，故(x2＋1)·的展开式的常数项是C·(－2)＋C(－2)5＝－42.(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx.由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r， k∈N，∴r应为偶数.∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.【规律方法】求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.角度2求二项展开式中特定项的系数【例1－2】(1)(多项式是积的形式)(2017·全国Ⅰ卷)(1＋x)6的展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35(2)(多项式是和的形式)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于()A.2B.2C.－2D.－1(3)(三项展开式问题)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【答案】(1)C(2)B(3)C【解析】(1)因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4，因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.(2)(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3...
