高中数学关于抽象函数的一点思考专题辅导VIP免费

高中数学关于抽象函数的一点思考陈磊在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题。这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式，而只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求解此类问题时往往感到很棘手。事实上，这类问题一般都是以基本初等函数作为模型，只要我们认真分析，善于联想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，必能为我们的解题提供思路和方法。下面略举数例加以说明。一、以正比例函数为模型例1.已知fx()是定义在R上的函数，对任意的xyR、都有fxyfxfy()()()，且当x0时，fxf()()012，。问当33x时，函数fx()是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。分析：我们知道，正比例函数fxkxk()()0满足fxyfxfy()()()。根据题设，我们可推知本题是以函数fxx()2作为模型设计的问题。于是，我们可以判定函数fx()的奇偶性、单调性入手来求解。解：令xy0，则fff()()()0000，解得f()00又因为fxfxfxxf()()()()00所以fxfx()()即函数fx()为奇函数。设xxRxx1212、，，则xx210依题意，有fxx()210fxfxfxfxfxx()()()()()2121210所以，fxfx()()21即函数fx()在R上是减函数。因此，函数fx()当33x时有最大值f()3，且fffff()()[()()]()()()331231326·二.以一次函数为模型例2.定义在R上的函数fx()满足fxyfxfyf()()()()1120，，且x12时，fx()0。（1）设afnnNn()()*，求数列的前n项和Sn；（2）判断fx()的单调性，并证明。分析：对于一次函数fxkxbk()()0有fxfyfxyb()()()成立。分析本题条件可知该题是以函数fxx()21为模型命制的。解：（1）fff()1121211令xny，1，则fnfnffn()()()()1112所以，aaann1112，故数列an是首项为1，公差为2的等差数列。因此，Snnnnn·()11222（2）设xxR12、，且xx12，则xx210用心爱心专心所以xx211212于是fxx()21120又fxfxfxx()()()21211fxxffxx()()()2121121120所以fxfx()()21，而函数fx()在R上是减函数。三.以指数函数为模型例3.设函数fx()定义在R上，对于任意实数m、n，恒有fmnfmfn()()()·，且当x0时，01fx()。（1）求证：f()01，且当x0时，fx()1；（2）求证：fx()在R上单调递减；（3）设集合Axyfxfyf(,)|()()()221·，BxyfaxyaR(,)|()21，，若AB∩，求a的取值范围。分析：我们知道，指数函数fxaaax()()01，且满足：①fxyfxfy()()()·；②fxyfxfy()()()。分析本题条件和结论，可推知本题是以函数fxaax()01为模型命制的。解：（1）令mn10，，得fff()()()110·又当x0时，01fx()，所以f()01设x0，则x0令mxnx，，则ffxfx()()()0·所以fxfx()()·1又01fx()，所以fxfx()()11（2）设xxR12、，且xx12，则xx210所以0121fxx()从而fxfxxxfxxfx()()()()2212211·又由已知条件及（1）的结论知fx()0恒成立所以fxfxfxx()()()2121所以0121fxfx()()所以fxfx()()21，故fx()在R上是单调递减的。（3）由fxfyf()()()221·得：fxyf()()221因为fx()在R上单调递减所以xy221，即A表示圆xy221的内部由faxyf()()210得：axy20所以B表示直线axy20所以AB∩，所以直线与圆相切或相离，即2112a用心爱心专心解得：33a四.以对数函数为模型设函数yfx()定义域为0，，且对任意的实数x、y，有fxyfxfy()()()，已知f()21，且当x1时fx()0。（1）求证：f121；（2）试判断yfx()在0，上的单调性，并证明。分析：我们知道，对数函数fxxaaa()log()01，且满足：①fxyfxfy()()()·；②fxyfxfy()()()。分析本题条件，可判定该题是以函数fxx()log2为模型命题的。证明：（1...