高考大题专项练一高考中的函数与导数1.(2017福建福州一模)已知函数f(x)=alnx+x2-ax(a∈R).(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)=f(x)-2x在区间[1,e]的最小值h(a).2.已知函数f(x)=(a<0).(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;(2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围.3.函数f(x)=+ax+2lnx(a∈R)在x=2处取得极值.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=m有三个实根,求m的取值范围.4.(2017全国Ⅲ,文21)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.5.设函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a2x2.(1)当a=-1时,在函数y=f(x)的图象上求一点P,使得点P到直线x-y+3=0的距离最小,求出距离的最小值;(2)是否存在正实数a,使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.6.(2017全国Ⅱ,文21)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.7.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)
0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.参考答案高考大题专项练一高考中的函数与导数1.解(1)f'(x)=+2x-a(x>0). x=3是函数f(x)的一个极值点,∴f'(3)=+6-a=0,解得a=9,∴f'(x)=,∴03时,f'(x)>0,0,解得a>-e2,所以此时-e20,由f'(x)>0,得02;由f'(x)<0,得10,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.故f(x)在单调递增,在单调递减.(2)证明由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln+1≤0.设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln+1≤0,即f(x)≤--2.5.解(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,定义域为(0,+∞),f'(x)=-1+,显然x∈(0,1),f'(x)>0;x∈(1,+∞),f'(x)<0.于是f(x)在(0,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,故f(x)max=f(1)=-1.易知直线y=x+3的斜率k=1,设f(x)的切线斜率为1时,切点P(x0,y0)距离y=x+3最近.由k==1,可知x0=,则y0=-+ln,故P.因此,d=.(2)假设存在正实数a满足题中条件.设F(x)=f(x)-g(x)(x>0),即F(x)=ax+lnx-a2x2,则F'(x)=a+-2a2x==(x>0),令F'(x)=0,得x=.于是当x∈时,F'(x)>0;当x∈时,F'(x)<0.故F(x)在内是增函数,在内是减函数.故F(x)max=F=a·+ln-a2·=1-lna-1=-lna.要使f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,只需F(x)max≤0,即-lna≤0,即a≥1.故存在正实数a∈[1,+∞),使f(x)≤g(x)恒成立.6.解(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;当x∈(-1+,+∞)...
