考查角度2空间中点、线、面的位置关系及其判断分类透析一点、线、面位置关系的判定例1若l,m是两条不同的直线,α为平面,且m⊥α,则“l⊥m”是“l∥α”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若l⊥m, m⊥α,∴l∥α或l⊂α;若l∥α, m⊥α,∴l⊥m.∴“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件,故选B.答案B方法技巧空间点、线、面位置关系的判断有两种方法,一是借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断;二是借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行判断.分类透析二异面直线所成的角例2(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,AA1⊥平面ABC,则异面直线BA1与AC1所成的角等于.(2)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,AB=PA=2,M,N分别为PA,PB的中点,则MD与AN所成角的余弦值为.解析(1)如图,延长CA到D,使得AD=AC,连接A1D,则四边形ADA1C1为平行四边形,∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又由AB=AC=AA1得△A1DB为等边三角形,则∠DA1B=60°,所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.(2)如图,取CD的中点E,连接AE,AN,NE,MN,MD,易得MN∥DE,MN=DE,所以MD∥NE,则∠ANE为异面直线AN与MD所成的角.在△ANE中,AE=❑√5,NE=MD=❑√5,AN=12PB=❑√2,所以cos∠ANE=AN2+NE2-AE22×AN×NE=2+5-52×❑√2×❑√5=❑√1010.答案(1)60°(2)❑√1010方法技巧求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移等.分类透析三动态立体几何问题例3(1)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿线段DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是.①BM是定值;②点M在某个球面上运动;③存在某个位置,使DE⊥A1C;④MB∥平面A1DE.(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱AA1、CC1的中点,过直线EF的平面分别与棱BB1、DD1交于点M、N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:①平面MENF⊥平面BDD1B1;②当且仅当x=12时,四边形MENF的面积最小;③四边形MENF周长L=f(x),x∈[0,1]是单调函数;④四棱锥C1-MENF的体积V=h(x)为常函数;以上命题中假命题的序号为().A.①④B.②C.③D.③④解析(1)如图,取DC中点F,连接MF,BF,MF∥A1D,且MF=12A1D,FB∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值,所以点M是在以B为球心,MB为半径的球上,可得①②正确;由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得④正确;A1C在平面ABCD中的投影与AC重合,AC与DE不垂直,可得③不正确.(2)因为E、F分别是棱AA1、CC1的中点,所以EF∥AC.因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以BB1⊥AC.又因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD.因为BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BDD1B,即EF⊥平面BDD1B.因为EF⊂平面MENF,所以平面MENF⊥平面BDD1B1.故①正确;由面面平行的性质定理可得EM∥FN,EN∥MF,所以四边形MENF为平行四边形.又因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,且E、F分别是棱AA1、CC1的中点,所以EM=MF,所以四边形MENF为菱形,所以SMENF=|MN|×|EF|2=❑√22|MN|.当M、N分别是棱BB1、DD1的中点时,|MN|取得最小值❑√2,SMENF的最小值为1,此时x=12.故②正确;由②知四边形MENF为菱形,L=f(x)=4❑√1+(12-x)2=4❑√x2-x+54在(0,12)递减,在(12,1)递增.故③错误;C1-MENF可分割成两个小三棱锥,它们以C1EF为底,因为三角形C1EF的面积为常数,点M,N到平面C1EF的距离为常数,故④正确.所以选C.答案(1)③(2)C方法技巧立体几何动态问题,是近年高考的热点问题.在立体几何中除了固定不变的线线、线面、面面关系之外,经常渗透一些“动态”的点、线、面等元素.在求解这类立体几何问题时,如果我们能探寻运动中静止的一面,运用数学思想方法进行有效转化,进而求解.1.(2016年全国Ⅱ卷,理14改编)已知直线a,b,平面α,且满足a⊥α,b∥α,有下列四个命题:①对任意直线c⊂α,有c⊥a;②存在直线c⊄α,使c⊥b且c⊥α;③对满足a⊂β的任意平面β,有β∥α;④存在平面β⊥α,使b⊥β.其中正确的命题有.(填序号)解析...
