高中数学说说怎样学习函数的单调性专题辅导张钟谊一、学习函数的单调性需掌握的主要问题1.什么是增函数？什么是减函数？2.如何理解函数的单调性，求函数的单调区间时应注意哪些问题？3.函数单调性的主要判定方法有几种？4.型函数的单调性是怎样的？5.证明函数单调性问题的一般步骤是怎样的？6.求复合函数单调区间的步骤。二、怎样学习函数的单调性因为函数的单调性是根据图像归纳出来的，所以判断的单调性一般利用函数的图像，证明函数的单调性必须用函数单调性的定义，不能用特殊值来代替，熟练掌握基本函数（如一次函数、二次函数等）的单调性，将大大简化我们的判断过程。了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：1.函数与函数的单调性相反；2.当恒为正或恒为负时，函数的单调性相反，3.在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数－减函数=增函数等。三、疑点简说1.如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。函数的单调区可以是整个的定义域。也可以是定义域的真子集，对于具体函数来说，可能有单调区间，也可能没有单调区间。如果函数在区间上为减函数，在区间上为减函数，那么函数在上不一定为减函数如；函数在上单调递减在上单调递增（读者可自行证一下这两例）。2.利用复合函数关系判断单调性的法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数（本方法只要求有所了解即可）。3.求复合函数单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成基本初等函数：；（3）分析确定这两个函数的单调区间；（4）若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数。四、例析例1.已知函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围。解析：二次函数的单调性是以对称轴为界线的，数形结合，由对称轴的位置便可确定a的范围。此二次函数的对称轴是，因此在区间上是单调递减的。又因为在上单调递用心爱心专心116号编辑减，故对称轴必须在的右侧或与其重合，即，所以。例2.判断函数在上的单调性，并加以证明。解析：要判定在上的单调性，只要对于上的任意两个自变量、，且判定的大小即可。设，则。因为，所以。所以当时，，为增函数，当时，为减函数。例3.已知，，求函数的单调区间。解析：由于是由和复合而成，由于在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，又当时，即，解得，又当时，求得，由复合函数的单调性列表1。表1函数单调性综上所述，上是增函数，在上是减函数，在[0，1]上是增函数，在上是减函数。例4.设是上的增函数，，当时，证明：。解析：本题只要把化为，利用单调性便可得证。因为。又在R上是增函数，所以且，所以。即例5.设函数是实数集R上的增函数，令。（1）求证：在R上是增函数；（2）若，求证：。思路分析：无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题，这就是解题思路，在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜。证明：（1）任取、，且，则，且。因为在R上是增函数，所以，即，所以，所以在R上是增函数。（2）因为，所以而用心爱心专心116号编辑，又因为在R上是增函数，所以，即。说明：本题关键在于一个“凑”字，凑定义、凑已知，目的是得出结论，只有不断地转换视角，才能凑出等式的形式，才能使用题中已知条件，才能将“”中的“－”号去掉，转化成“”。在数学学习中，要根据题目的结构特点，学会“凑”，这也是提高数学能力的一种重要方法。用心爱心专心116号编辑
