高中数学说说怎样学习函数的单调性专题辅导张钟谊一、学习函数的单调性需掌握的主要问题1.什么是增函数?什么是减函数?2.如何理解函数的单调性,求函数的单调区间时应注意哪些问题?3.函数单调性的主要判定方法有几种?4.型函数的单调性是怎样的?5.证明函数单调性问题的一般步骤是怎样的?6.求复合函数单调区间的步骤。二、怎样学习函数的单调性因为函数的单调性是根据图像归纳出来的,所以判断的单调性一般利用函数的图像,证明函数的单调性必须用函数单调性的定义,不能用特殊值来代替,熟练掌握基本函数(如一次函数、二次函数等)的单调性,将大大简化我们的判断过程。了解以下一些结论,对于直接判断函数的单调性有好处:1.函数与函数的单调性相反;2.当恒为正或恒为负时,函数的单调性相反,3.在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等。三、疑点简说1.如果函数在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做的单调区间。函数的单调区可以是整个的定义域。也可以是定义域的真子集,对于具体函数来说,可能有单调区间,也可能没有单调区间。如果函数在区间上为减函数,在区间上为减函数,那么函数在上不一定为减函数如;函数在上单调递减在上单调递增(读者可自行证一下这两例)。2.利用复合函数关系判断单调性的法则是“同增异减”,即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数(本方法只要求有所了解即可)。3.求复合函数单调区间的步骤:(1)确定定义域;(2)将复合函数分解成基本初等函数:;(3)分析确定这两个函数的单调区间;(4)若这两个函数同增或同减,则为增函数,若一增一减,则为减函数。四、例析例1.已知函数在区间上是减函数,求实数a的取值范围。解析:二次函数的单调性是以对称轴为界线的,数形结合,由对称轴的位置便可确定a的范围。此二次函数的对称轴是,因此在区间上是单调递减的。又因为在上单调递用心爱心专心116号编辑减,故对称轴必须在的右侧或与其重合,即,所以。例2.判断函数在上的单调性,并加以证明。解析:要判定在上的单调性,只要对于上的任意两个自变量、,且判定的大小即可。设,则。因为,所以。所以当时,,为增函数,当时,为减函数。例3.已知,,求函数的单调区间。解析:由于是由和复合而成,由于在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数,又当时,即,解得,又当时,求得,由复合函数的单调性列表1。表1函数单调性综上所述,上是增函数,在上是减函数,在[0,1]上是增函数,在上是减函数。例4.设是上的增函数,,当时,证明:。解析:本题只要把化为,利用单调性便可得证。因为。又在R上是增函数,所以且,所以。即例5.设函数是实数集R上的增函数,令。(1)求证:在R上是增函数;(2)若,求证:。思路分析:无论给出的函数式子多么复杂,只要是证明单调性,就必用“定义法”,只要是比较自变量的大小,就必用单调性定义的逆命题,这就是解题思路,在正确的思路指导下,必能攻无不克,战无不胜。证明:(1)任取、,且,则,且。因为在R上是增函数,所以,即,所以,所以在R上是增函数。(2)因为,所以而用心爱心专心116号编辑,又因为在R上是增函数,所以,即。说明:本题关键在于一个“凑”字,凑定义、凑已知,目的是得出结论,只有不断地转换视角,才能凑出等式的形式,才能使用题中已知条件,才能将“”中的“-”号去掉,转化成“”。在数学学习中,要根据题目的结构特点,学会“凑”,这也是提高数学能力的一种重要方法。用心爱心专心116号编辑