高考数学 黄金100题系列 第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第18题几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）I．理论基础·解题原理（I）对勾函数一、对勾函数的定义形如的函数，叫做对勾函数．二、对勾函数的图象与性质1.定义域2.值域当时，（当且仅当，即时取等号）．当时，（当且仅当，即时取等号）．函数的值域为．3.奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数．4.单调性由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数．5.渐近线当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限．当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方．双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线．特别时，，函数图象如下图所示：（II）绝对值函数一、绝对值函数的定义：形如的函数，叫做绝对值函数．含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如的函数,研究此类函数往往结合图像,可以看成由的图像在轴上方部分不变,下方部分关于轴对称得到；2．形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如,等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究．二、绝对值函数的图象与性质1.定义域：R；2.值域：；3.单调性：函数在上为减函数，在上为增函数．特别时，，图象如下图所示（III）取整函数取整函数的定义若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数．举例如下：等．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等．【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题．【易错指导】注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题．V．举一反三·触类旁通考向1对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，∴，令，则为奇函数，则，所以，有，故选A．考点：函数值、函数的奇偶性．【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性．【例3】【2017山西四校联考】若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是A．B．C．D．【解析】，，显然，函数的导函数在区间（1，2）上有零点，，为增函数，只需，故选D．【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等．2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧．【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（）A．若，则函数无零点B．若，则函数有零点C．若，则函数有一个零点D．若，则函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误．故选A．【跟踪练习】1．若函数，则下列结论正确的是（）4(0,2),(2,)4(0,2),(2.)...,AfxBfxCfxDfx的最小值为在上单调递减在上单调递增的最大值为在函数函数函数函上单调递增在数上单调递减2．关于函数有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；（3）函数f(x)的最小值为；（4）函数f(x)在上单调递增；（5）函数f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是（）【解析】注意函数的定义域为．如图：所以在上，g(x)在上递减，在上递增．所以由复合函数单调性可知，f(x)在上递减，在上递增．由函数对称性，f(x)在上递增，在上递减，所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g(x)的最小值为2，所以f(x)的最小值为lg2...