专题01归纳法与数列一、本专题要特别小心：1.归纳法求通项2.项和互化求通项时注意n的取值3.累和法求通项的方法4.累积法求通项的方法5.递推公式求通项的构造二．【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.三．【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.2.给出数列的常见途径有：列举、通项公式和递推关系式.3.应用公式an＝是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时应注意验证a1是否符合一般规律.四．【题型方法总结】（一）归纳猜想求通项例1.将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，=2+3=×（2+3）×2；n=2时，=2+3+4=×（2+4）×3；…由此我们可以推断：=2+3+…+（n+2）=[2+（n+2）]×（n+1）∴=×[2+（2016+2）]×（2016+1）-5=1011×2015．故选：C．练习1.数列1，，，……的一个通项公式为()A．B．C．D．【答案】D【解析】因为所以令选项中的值分别为，不合题意，所以可排除选项，故选D.练习2.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下面结论错误的是（）A．B．C．1024是三角形数D．【答案】C【解析】 ，，，…，由此可归纳得，故A正确；将前面的所有项累加可得，∴，故B正确；令，此方程没有正整数解，故C错误；，故D正确.故选：C练习3.按数列的排列规律猜想数列中的项，数列2，3，5，8，13，，34，55，…则的值是()．A．19B．20C．21D．22【答案】C【解析】由数列数字特点可知：从第项开始，每一项都等于前两项的数字之和，可知满足题意本题正确选项：练习4.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，当时，将移到乙柱，只移动1次；当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；……以此类推，可知，故选.（二）分析变形求通项例2.数列，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数的前项和为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，熟练数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则，即成立，所以成立，故选B.练习1..数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是an=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，…；明显地，，，，…；显然数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是，答案选B练习2.数列2，22，222，2222，的一个通项公式an是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数列{cn}：9，99，999，9999的通项是10n﹣1，数列2，22，222，2222，…的每一项均是数列{cn}的，则数列2，22，222，2222，的一个通项公式是an；故选：D．练习3.有穷数列中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，，且，则有穷数列中值为0的项数是（）A．1000B．1010C．...
