课时作业9复数的三角形式及其运算时间：45分钟1．复数1＋i的三角形式是(B)A．cos＋isinB．2C．cos＋isinD．22．已知复数z1＝cosπ＋isinπ，z2＝cosπ＋isinπ，则的辐角的主值是(B)A.B.πC.πD．－3．若复数z＝(a＋i)2的辐角是，则实数a的值是(B)A．1B．－1C．－D．－解析：∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，∴，∴a＝－1，本题选B.4.(cos30°＋isin30°)×2(cos60°＋isin60°)×3(cos45°＋isin45°)＝(C)A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i解析：(cos30°＋isin30°)×2(cos60°＋isin60°)×3(cos45°＋isin45°)＝×2×3[cos(30°＋60°＋45°)＋isin(30°＋60°＋45°)]＝3(cos135°＋isin135°)＝3＝－＋i.故选C.5．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A.6．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cosA＋isinA)÷(cosB＋isinB)·(cosC＋isinC)是一个实数，则△ABC是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不能确定解析：argz＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝.7．设π<θ<，则复数的辐角主值为(B)A．2π－3θB．3θ－2πC．3θD．3θ－π解析：＝＝cos3θ＋isin3θ.∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，故本题应选B.8．(多选)设f(θ)＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则f2(θ)＝cos2θ＋isin2θ，f3(θ)＝cos3θ＋isin3θ，…，若f10(θ)为实数，则θ的值可能等于(AC)A.B.C.D.解析：f10(θ)＝cos10θ＋isin10θ，要使f10(θ)为实数，则sin10θ＝0,10θ＝kπ，故θ＝，当k＝1时，θ＝，当k＝2时，θ＝，故选AC.9．设复数z的辐角是，实部是－2，则z＝－2＋2i.10．复数3＋4i的辐角主值为θ，则i(3＋4i)的辐角主值为＋θ.11．复数(θ∈[0，])的三角形式为cosθ＋isinθ.三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分12．写出下列复数的三角形式：(1)ai(a∈R)；(2)tanθ＋i(<θ<π)；(3)－(sinθ－icosθ)．解：(1)ai＝.(2)tanθ＋i＝－[cos(π－θ)＋isin(π－θ)](<θ<π)．(3)－(sinθ－icosθ)＝[cos(＋θ)＋isin(＋θ)]．13．设z＝(－3－3i)n，n∈N，当z∈R时，n为何值？解：因为z＝(－3－3i)n＝[6(cosπ＋isinπ)]n＝6n(cosπ＋isinπ)．因为z∈R，所以sinπ＝0(n∈N)，即π＝kπ，k∈N，解得n＝k(∈N)．——素养提升——14．若复数z满足＝，arg＝，则z的代数形式是z＝1＋i.解析：设＝z0，则|z0|＝，argz0＝，∴z0＝＝＋i，∴＝＋i，解得z＝1＋i.15．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝|α|2.解：△AOB为等腰直角三角形．∵α≠0，β＝(1＋i)α.∴＝1＋i＝(cos＋isin)，∴∠AOB＝，∵OA，AB分别表示复数α，β－α，由β－α＝αi，得＝i＝cos＋isin，∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．∴S△AOB＝|OA|·|AB|＝|α|2.
