考点29数学归纳法解答题1.(2015·江苏高考·T23)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn},令f(n)表示集合Sn所含元素个数.(1)写出f(6)的值.(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.【解题指南】(1)根据题意按a分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共13个.(2)由(1)知,a=1,b=1,2,3,…,n;a=2,b=1,2,4,6,…,2k;a=3,b=1,3,6,9,…,3k(k∈N*).所以当n≥6时,f(n)的表达式要按2×3=6除的余数进行分类,然后利用数学归纳法进行证明.【解析】(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=(t∈N*)下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情况讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3=(k+1)+2++,结论成立.2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立.3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立.4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+，结论成立.5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立.6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立.综上所述,结论对n≥6的自然数n均成立.2.(2015·北京高考理科·T20)(13分)已知数列满足：，且，记集合。（1）若，写出集合M的所有元素；（2）若集合M存在一个元素是3的倍数。证明：M的所有元素都是3的倍数；（3）求集合M的元素个数的最大值。【解题指南】(1)直接代入定义求解.(2)(3)可用归纳推理证明的方法求解.【解析】(1)a1=6,a2=12,a3=24,a4=2×24-36=12,所以M={6,12,24}.(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数,类似可得ak-2,…,a1都是3的倍数,从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a1≤36,可归纳证明an≤36(n=2,3,…).因为a1是正整数,a2=所以a2是2的倍数,从而当n≥3时,an是4的倍数,如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数,因此当n≥3时,an∈{12,24,36},这时M的元素个数不超过5,如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数,因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时M的元素个数不超过8,当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
