(四)函数与导数(2)1．已知函数f(x)＝mlnx(m∈R)．(1)若函数y＝f(x)＋x的最小值为0，求m的值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋mx2＋(m2＋2)x，试求g(x)的单调区间；(3)试给出一个实数m的值，使得函数y＝f(x)与h(x)＝(x>0)的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由．解(1)由题意，得函数y＝mlnx＋x，所以y′＝＋1＝，①当m≥0时，函数y在(0，＋∞)上单调递增，此时无最小值，舍去；②当m<0时，由y′＝0，得x＝－m.当x∈(0，－m)，y′<0，原函数单调递减；x∈(－m，＋∞)，y′>0，原函数单调递增．所以x＝－m时，函数y取最小值，即mln(－m)－m＝0，解得m＝－e.(2)由题意，得g(x)＝mlnx＋mx2＋(m2＋2)x，则g′(x)＝＝，①当m≥0时，g′(x)≥0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当m<0时，由g′(x)＝0，得x＝－或x＝－，(A)若m＝－，则－＝－，此时g′(x)≤0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；(B)若－0，解得x∈(－，－)，由g′(x)<0，解得x∈(0，－)∪(－，＋∞)，所以函数g(x)在(－，－)上单调递增，在(0，－)与(－，＋∞)上单调递减；(C)若m<－，则－>－，同理可得，函数g(x)在(－，－)上单调递增，在(0，－)与(－，＋∞)上单调递减．综上所述，g(x)的单调区间如下：①当m≥0时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当m＝－时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当－0，求a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0，设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>0；②当a>2时，令g′(x)＝0得，x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0，综上，a的取值范围是(－∞，2]．3．(2016·课标全国丙)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<1，证明：当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1.当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．(2)证明由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc．令g′(x)＝0，解得x0＝.当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．由(2)知1<0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.4．(2016·北京)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．(1)解由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，切线斜率k＝f′(0)＝b.又f(0)＝c，所以切点坐标为(0，c)．所以所求切线方程为y...
