课时作业8对数与对数函数一、选择题1．(2014·四川卷)已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c解析：由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c， 5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a，故选B.答案：B2．(2014·天津卷)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a解析：利用中间量比较大小．因为a＝log2π∈(1,2)，b＝logπ＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.答案：C3．(2014·山东卷)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如下图，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1解析：由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.答案：D4．(2014·河北石家庄调研)已知函数f(x)＝|logx|，若m＜n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)解析： f(x)＝|logx|，若m＜n，有f(m)＝f(n)，∴logm＝－logn，∴mn＝1，∴0＜m＜1，n＞1，∴m＋3n＝m＋.1令h(m)＝m＋，则易知h(m)在(0,1)上单调递减，当m＝1时，m＋3n＝4，∴m＋3n＞4.答案：D5．(2014·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是()ABCD解析：根据对数函数性质知，a＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1,1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看a＜1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a＞1，与幂函数图象矛盾，故选D.答案：D6．(2015·日照一中月考)已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是()A．5B．3C．－1D.解析：由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝5，故选A.答案：A二、填空题7．(2014·安徽卷)＋log3＋log3＝__________.解析：原式＝＋log3＝－3＝.答案：8．(2014·天津卷)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是__________．解析：函数f(x)＝lgx2＝2lg|x|＝2易知它的单调递减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)9．(2014·唐山一模)函数y＝log3(2cosx＋1)，x∈的值域是__________．解析： －＜x＜，∴－＜cosx≤1.∴－1＜2cosx≤2.0＜2cosx＋1≤3.令u＝2cosx＋1，y＝log3u在u＞0时是增函数，又u∈(0,3]，故当u＝3时，y取得最大值为1，∴函数值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]三、解答题10．(2015·辽宁测试)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．解析：(1) f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，∴log4－log4(4x＋1)＝2kx，∴(2k＋1)x＝0，∴k＝－.(2)依题意知：log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)．(*)∴令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0只需其有一正根．①a＝1，t＝－1不合题意；②(*)式有一正一负根，∴经验证满足a·2x－a＞0，∴a＞1.③(*)式有两相等的根，Δ＝0，∴a＝±2－2，又a·2x－a＞0，∴a＝－2－2，综上所述可知a的取值范围为{a|a＞1或a＝－2－2}．11．(2015·四川资阳诊断)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋ax(a∈R)．(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2,1]恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)＝f(－x)恒成立，即log4(4x＋1)＋ax＝log4(4－x＋1)－ax，所以2ax＝log4＝log4＝－x.所以(2a＋1)x＝0恒成立，则2a＋1＝0，故a＝－.(2)f(x)＋f(－x)＝log4(4x＋1)＋ax＋log4(4－x＋1)－ax＝log4(4x＋1)＋log4(4－x＋1)＝log4(4x＋1)(4－x＋1)＝log4(2＋4x＋4－x)≥log4(2＋2)＝1.所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，令h(t)＝mt＋m，3由解得－1≤m≤，故实数m的取值范围是.12．(2014·上海崇明二模)已知f(x)＝log＋x为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在x∈(1，＋∞)上的单调性，并说明理由；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)＞x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1...
