专题01函数的基本性质第四季1．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为______.【答案】由与联立，可得在有解，由，当且仅当时，取得等号，即有，则的取值范围是，故答案为2．如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，有下列结论:①函数的值域是；②对任意的，都有；③函数是偶函数；④函数单调递增区间为.其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)说明:“正三角形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动.沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转,当顶点落在轴上时,再以顶点为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正三角形可以沿轴负方向滚动.【答案】②③【解析】点运动的轨迹如图所示.由图可知：的值域为,①错；是一个周期函数,周期为,②正确；函数的图象关于轴对称，为偶函数,③正确；函数的增区间为和,④错，故答案为②③.3．函数f（x）＝ax｜2x+a｜在[1，2]上是单调增函数，则实数a的取值范围为___．【答案】{a|a＞0或a＝﹣4}【解析】当时，为常数函数，不符合题意.当时，由于，故函数，函数开口向上，对称轴为，故函数在上递增，符合题意.当时，令，解得.此时，故函数在上递减，在上递增，所以是的子集，故，解得，故的取值范围是或.4．设a，b∈R，a＜b，函数g（x）=|x+t|（x∈R），（其中表示对于x∈R，当t∈[a，b]时，表达式|x+t|的最大值），则g（x）的最小值为______【答案】（b-a）当-b＜x＜-，f（a）＞f（b），可得g（x）=f（a）=-a-x；当-x≤a即x≥-a时，区间[a，b]为增区间，可得g（x）=f（b）=b+x．则g（x）=，当x≤-b，g（x）≥b-a；-≤x＜-a时，g（x）≥（b-a）；当-b＜x＜-，g（x）＞（b-a）；x≥-a时，g（x）≥b-a．则g（x）的最小值为（b-a）．故答案为：（b-a）．5．关于函数，下列命题中所有正确结论的序号是______．①其图象关于轴对称；②当时，是增函数；当时，是减函数；③的最小值是；④在区间上是增函数；【答案】①③④【解析】函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故①正确；令，函数在上单调递减，证明如下：任取，，且，则，因为，，所以，而，，所以，故函数在上单调递减。同理可以证明函数在上单调递增，又因为在单调递增，利用复合函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增。由于函数是偶函数，可知在上单调递增，在上单调递减。的最小值为.所以②错误，③④正确。综上正确的结论是①③④.6．已知函数f（x）=x3+lg（+x）+5，若f（a）=3，则f（-a）=______．【答案】7【解析】根据题意，当x=a时，f（a）=3代入化简可得f（a）=a3+lg（+a）+5=3，即a3+lg（+a）=-2当x=-a时，代入得f（-a）=(-a)3+lg（-a）+5=-a3+lg（-a）+5=-a3++5=-a3+5=-[a3]+5=-[-2]+5=77．已知函数，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】函数，由函数y=sinx，y=在[-1，1]内都为奇函数，可得函数f（x）在[-1，1]内为偶函数，由函数y=sinx，y=在[0，1]内都为增函数，且函数值均为非负数，可得函数f（x）在[0，1]内为增函数， ，∴|a-1|，解得或．则a的取值范围是．故答案为：．8．某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（-1，1）③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④方程f（x）=x在R上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）【答案】①②③【解析】对于①，任取，都有，∴①正确；对于②，当时，，根据函数的奇偶性知时，，且时，，②正确；对于③，则当时，，由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；再由的奇偶性知，在上也是增函数，且时，一定有，③正确；对于④，因为只有一个根，∴方程在上有一个根，④错误．正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．9．已知函数f（x）=（x∈（-1，1）），有下列结论：（1）∀x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；（3）∀x1，x2∈（-1，1），若x1≠x2，则...
