上海市封浜中学高三数学第二轮专题复习：第3讲探究能力型问题探究能力是指运用学过的知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对问题进行探索和研究的能力．探究能力型问题常见的有以下几种类型：1．探究规律型问题；2．判断存在型问题；3．判断真假型问题；4．结论开放型问题；5．追溯条件型问题．在近年的高考试题中，已越来越多地见到探究能力型问题．例1．（2005上海）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、、（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，若在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是．解析：此题考查学生探索与比较的能力,有的学生轼为找不到比较的办法，因而不知从何入手．实际上拼接后的多面体的全面积是原来两个三棱柱的全面积之和减去两个拼在一起的面的面积，即，所以，我们只要将面积最大的侧面积找到，显然是一边长为的那个侧面，而将此面拼接能形成一个四棱柱．只要此面的面积大于底面积即可，即只要解不等式，解得．，这样就把多次比较缩减为一次比较．例2．（2005上海）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵．对第行，记，．例如，用可得数阵如右，由于此数阵中每一列各数之和都是，所以，那么，在用用心爱心专心115号编辑1，2，31，3，22，1，32，3，13，1，23，2，1形成的数阵中，_____________解析：此题属于探索规律型问题，在用组成的数阵中，每一列各数之和都是24个（），而，因而．此题还可推广到任意正整数．例3．（2006上海春）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列满足，则______________________________________________________________________．此题属于探究结论型问题，同时也考查了统计知识的应用．例4．（2007上海春）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．分析：此题的数学知识的背景很普通，但却体现了上海高考命题演变的轨迹，是高考命题中引入的研究性学习问题，强调学习方式的完善，学会研究问题，学会解题后的反思．整个题目分成三段来叙述，第一段是说明什么叫“原来问题的一个‘逆向’问题”？很明显，是“结论作为条件之一、与原问题有关，并且要是新的”问题．第二段是用一个具体的例子解释上述的说明．第三段才是“正题”，给出一个数学问题，要求考生提出一个“有意义”的“逆向”问题，并解答所提出的问题．这里关键是提出的问题，要理解这个数学问题中的条件和结论，条件实际上是①一个点；②一条直线，还隐含了一个关系：点与直线之间的距离．结论只有一个：点到直线间距离是．以关系作为桥梁，将条件②、①分别与结论组成条件，就不难提出有意义的“逆向”问题．解：点到直线的距离为．用心爱心专心115号编辑“逆向”问题可以是：(1)求到直线的距离为2的点的轨迹方程．解：设所求轨迹上任意一点为，则，所求轨迹为或．(2)若点到直线的距离为2，求直线的方程．解：，化简得，或，所以，直线的方程为或．意义不大的“逆向”问题可能是：(3)点是不是到直线的距离为2的一个点？解：因为，所以点是到直线的距离为2的一个点．(4)点是不是到直线的距离为2的一个点？解：因为，所以点不是到直线的距离为2的一个点．(5)点是不是到直线的距离为2的一个点？解：因为，所以点不是到直线的距离为2的一个点．例5．（2005上海）对定义域是、的函数、，规定：函数．（1）若函数，，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是...
