第2讲等差数列及其前n项和一、选择题1．(2018·洛阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝()A．52B．78C．104D．208解析：选C.依题意得3a7＝24，a7＝8，S13＝＝13a7＝104，选C.2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝()A．12B．13C．14D．15解析：选B.设{an}的公差为d，由S5＝⇒25＝⇒a4＝7，所以7＝3＋2d⇒d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝()A．－1B．0C．D．解析：选B.由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又因为a2a4＝，数列{an}单调递增，所以a2＝，a4＝.所以公差d＝＝.所以a1＝a2－d＝0.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a6＋a7>0”是“S9≥S3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充要也不必要条件解析：选A.法一：将它们等价转化为a1和d的关系式．a6＋a7>0⇒a1＋5d＋a1＋6d>0⇒2a1＋11d>0；S9≥S3⇒9a1＋≥3a1＋⇒2a1＋11d≥0.法二：a6＋a7>0⇒a1＋a12>0，S9≥S3⇒a4＋a5＋…＋a9≥0⇒3(a1＋a12)≥0.5．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A.设{an}的公差为d，因为a1＝29，S10＝S20，所以10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，所以Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.所以当n＝15时，Sn取得最大值．6．(2018·张掖模拟)等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为()A．{1}B.C．D.解析：选B.＝＝，若a1＝d，则＝；若a1≠0，d＝0，则＝1.因为a1＝d≠0，所以≠0，所以该常数的可能值的集合为.1二、填空题7．在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝________．解析：因为a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.答案：998．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.答案：109．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为________．解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，数列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5，所以a1＝3－m.由Sm＝(3－m)m＋×1＝0，解得正整数m的值为5.答案：510．已知在等差数列{an}中，Sn＝33，S2n＝44，则这个数列的前3n项和S3n为________．解析：法一：由题意知，，，三点在同一条直线上，从而有＝，解得S3n＝33.所以该数列的前3n项的和为33.法二：S3n＝3(S2n－Sn)＝3×(44－33)＝33.答案：33三、解答题11．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.12．已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.2(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4，2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|...
