第5课复数的概念和运算【考点导读】1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.【基础练习】1.设、、、，若为实数，则2.复数的共轭复数是3.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于第二象限4.复数5.若复数满足方程，则【范例导析】例1.m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．解：（1）当即∴时，z是实数．（2）当即∴当且时，z是虚数．（3）当即∴当或时，z是纯虚数．点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错．例2.在复数范围内解方程(i为虚数单位)分析:可z=x+yi(x、y∈R),代入求解.解:原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－且y=±,1∴原方程的解是z=-±i.点拨：复数问题实数化是解决复数问题的基本方法,在解题中应引起重视.例3.设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.分析:根据共轭复数的概念和复数的代数运算求出复数z,再代入写出|z－ω|的表达式求其范围..解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a－bi，代入4z+2=3+i得4（a+bi）+2（a－bi）=3+i.∴.∴z=i.|z－ω|=|i－（sinθ－icosθ）|=∵－1≤sin（θ－）≤1，∴0≤2－2sin（θ－）≤4.∴0≤|z－ω|≤2.点拨：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.例4.设z是虚数，w=z+是实数，且－1＜ω＜2.（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数；（3）求w－u2的最小值.分析:本题题（3）利用基本不等式求最值较方便.解：（1）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0则w=a+bi+因为w是实数，b≠0，所以a2＋b2=1，即|z|=1.于是w=2a，－1＜w=2a＜2，－＜a＜1，所以z的实部的取值范围是（－，1）.（2）.2因为a∈（－，1），b≠0，所以u为纯虚数.（3）.因为a∈（－，1），所以a+1＞0，故w－u2≥2·2－3=4－3=1.当a+1=，即a=0时，w－u2取得最小值1.点拨:本题综合性较强,在解题过程中综合运用了复数的相关概念和运算使问题得以解决.反馈练习：1.如果复数是实数，则实数2.已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝3.若复数Z=，则Z+Z+1+i的值为04.已知,则等于5.复数，且，若是实数，则有序实数对可以是__（2,1）_（写出一个有序实数对即可）6.是虚数单位，（用的形式表示，）7.设、为实数，且，则+=4.8.如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是19.若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝-1+i．10.已知，求的值.解：∵，3，∴11.已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝（a＋2z）2．解：∵z＝1＋i，∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i，（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝（a＋2z）2得两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2．所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．12.已知z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝，且|w|＝5，求w．解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．由题意，得a＝3b≠0．∵|ω|＝，∴|z|＝．将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15．故ω＝±＝±（7－i）．解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R，则ω＝．∵|ω|＝5，∴k＝±50．故ω＝±（7－i）．4
