大题规范练(七)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知函数f(x)＝2lnx＋ax－(a∈R)的图象在x＝2处的切线经过点(－4,2ln2)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式＞mx－1恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)由题意得f′(x)＝＋a＋，x＞0，∴f′(2)＝1＋a＋f′(2)，∴a＝－1，∴f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y－f(2)＝f′(2)(x－2)，即y＝f′(2)x＋2ln2－2－4f′(2)，∵点(－4,2ln2)在该切线上，∴f′(2)＝－，∴f′(x)＝－1－＝－≤0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)由题意知x＞0，且x≠1，原不等式＞mx－1等价于(2lnx－x＋)＞m.设g(x)＝＝f(x)，由(1)得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，∴当0＜x＜1时，f(x)＞0，g(x)＞0；当x＞1时，f(x)＜0，g(x)＞0，∴在(0，＋∞)上，g(x)＞0恒成立．假设存在正数b，使得g(x)＞b＞0，若0＜b≤1，当x＞时，g(x)＝＋＜＜b；若b＞1，当＜x＜1时，g(x)＝＋＜＜b.∴不存在这样的正数b，使得g(x)＞b＞0，∴g(x)的值域为(0，＋∞)，∴m的取值范围为(－∞，0]．21．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、右顶点)，过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|＝2(O为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：x＝my＋4(m∈R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′，直线A′B交x轴于D，求当三角形ADB的面积最大时，直线l的方程．[解](1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×ab＝4，得ab＝2.延长F2Q交直线F1P于点R(图略)，因为F2Q为∠F1PF2的外角平分线的垂线，所以|PF2|＝|PR|，Q为F2R的中点，所以|OQ|＝＝＝＝a，所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)将直线l和椭圆的方程联立得消去x，得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，所以Δ＝(24m)2－4×36(3m2＋4)＝144(m2－4)＞0，即m2＞4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，由根与系数的关系，得直线A′B的斜率k＝＝，所以直线A′B的方程为y＋y1＝(x－x1)，令y＝0得xD＝＝＝＝＋4，故xD＝1，所以点D到直线l的距离d＝，所以S△ADB＝|AB|d＝＝18·.令t＝(t＞0)，则S△ADB＝18·＝≤＝，当且仅当3t＝，即t2＝＝m2－4，即m2＝＞4，m＝±时，三角形ADB的面积最大，所以直线l的方程为3x＋2y－12＝0或3x－2y－12＝0.
