11.1.4棱锥与棱台关键能力·素养形成类型一棱锥及其有关概念【典例】1.下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为()2.所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个.【思维·引】1.看是否同时满足以下两点:(1)有一个面是多边形.(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.2.注意到有两个正三角形面合并成一个平行四边形面.【解析】1.选A.选项A中的几何体不满足有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,所以不是棱锥;选项B,C,D中的几何体是棱锥.2.如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥.图(3)是它们拼接而成的一个几何体.故暴露的面数为5个.答案:5【内化·悟】1.解决与棱锥概念有关的问题主要从哪些方面考虑?提示:解决与棱锥概念有关的问题主要从棱锥的侧面、侧棱、底面、顶点、高等方面考虑.2.正棱锥中的几个重要的直角三角形:如图所示,正棱锥S-ABCDE中,点O为底面中心,M是CD的中点,则△SOM,△SOC均是直角三角形,很明显,△SMC,△SMD,△OMC也是直角三角形.【类题·通】判断棱锥形状的两种方法（1）直接法:利用棱锥的定义,看是否只有一个多边形,此面为底面,再看其他面是否是有一个公共顶点的三角形.（2）举反例:结合棱锥的定义举反例直接判断关于棱锥结构特征的某些说法不正确.【习练·破】1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.三棱锥的每一个面均可作为底面.2.正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍,则k的取值范围是()A.(0,+∞)B.C.(,+∞)D.【解析】选D.由正四棱锥的定义知,在正四棱锥S-ABCD中,S在底面ABCD内的射影O为正方形的中心,而SA>OA=AB,所以>.【加练·固】1.在下列多面体中,有5个面的是()A.四棱锥B.五棱锥C.四棱柱D.五棱柱【解析】选A.从侧面和底面去考虑.2.具有下列性质的三棱锥中,哪一个是正棱锥()A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等B.底面是正三角形,且侧面都是等腰三角形C.相邻两条侧棱间的夹角相等D.三条侧棱长相等,且顶点在底面上的射影是底面三角形的内心【解析】选D.A错,由已知能推出顶点在底面上的射影是三角形的外心,但底面三角形不一定是正三角形;B错,侧面是等腰三角形,不能说明侧棱长一定相等,可能有一个侧面是侧棱和一底边长相等,此时推不出正棱锥;C错,相邻两条侧棱间的夹角相等,但侧棱长不一定相等,此时显然不可能推出正棱锥;D正确,由侧棱长相等保证了顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,而内心、外心合一的三角形一定是正三角形.类型二棱台及其有关概念【典例】1.下列几何体是棱台的是________(写出所有满足题意的序号).世纪2.在正四棱台内作一个内接棱锥,该棱锥以这个棱台的上底面正方形作底,以下底面正方形的中心作顶点.如果棱台上、下底面的边长分别为a和b,棱台和这个内接棱锥的侧面积相等,求这个内接棱锥的高,以及本题有解的限制条件.世纪【思维·引】1.看是否同时满足以下两点:(1)是由棱锥截得的,(2)截面平行于底面.2.可以根据侧面积相等建立方程,解方程或者根据方程判断解的情况即可得出结论.【解析】1.①③都不是由棱锥截得的,不符合棱台的定义,故①③不满足题意;②中的截面不平行于底面,不符合棱台的定义,故②不满足题意;④符合棱台的定义.答案:④2.设内接棱锥的高为x,则棱锥的斜高h1=,棱台的斜高h2=.由棱台和内接棱锥的侧面积相等可得关于x的方程·4a·=·4(a+b)·.解方程可得x=.答:这个内接棱锥的高为.当a,b满足0
