高中数学一道三角题的发散思维专题辅导VIP免费

高中数学一道三角题的发散思维题：求证：在△ABC中，coscoscosABC32分析1：这是一道常见题，会想到应用余弦定理，把角转化为边进行证明。在△ABC中cosAbcabc2222cosBacbac2222cosCabcab2222所以coscoscosABCbcabcacbacabcab3222232222222222三角形中边的大小关系有：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。应用这个关系之前需作一点变换，即将分子、分母同乘以2，并通分，再拆、并项，整理得原式22242224222464223223223abacaabcbabcbabccacbcabcabcabcabbccabaacaabcbaaccbabbcbabc()()()()()()2222222222222424cabcbcaccbcabc()()()22222224{[()()()][()()()][()()()]}abcbcbcbcabababcabacabaccacabc2222222222222224[()()()()()()]bcabcabcabacbacabc22240所以coscoscosABC32分析2：应用诱导公式、和差化积公式、二倍角公式、均值不等式、方程思想等。在△ABC中coscoscosABCcoscoscos[()]ABAB2222212coscoscosABABAB22221cos(coscos)ABABAB42221sinsinsinABC（*）因此，只要证明sinsinsinABC22218观察cosA，cosB，cosC与sinsinsinABC222，，，可应用二倍角公式转化。coscoscosABC用心爱心专心122122122222sinsinsinABC32222222(sinsinsin)ABC3232222223sinsinsinABC设tABCtsinsinsin()2220再结合（*）式，得413623tt即23112102313213tttt()()所以21013t，即t18故sinsinsinABC22218所以coscoscosABC418132分析3：应用一元二次函数和三角函数求最值的方法，比上面的解法简单很多。在△ABC中coscoscosABCcoscoscos[()]ABAB2222212coscoscosABABAB22122112222(coscos)cosABABAB1122322cosAB当coscoscosABABAB212221即A＝B＝C＝60°时取等号。分析4：应用向量内积的定义和单位向量的性质来证明。在△ABC中，设||||||||ABABeBCBCeCACAe123，，cos||||||||AABACABACABABCACAee13同理可得coscosBeeCee1223，所以coscoscosABCeeeeee131223由单位向量eee123，，的性质及eeeeee122313，，之间的关系，知eee1222321所以23(coscoscos)ABC2223131223eeeeee用心爱心专心[()()()]eeeeeeeeeeeeeee121332121222222332122232222[()()()]eeeeeeeee132221223223212[()()()()()()]eeeeeeeeeeeeeeeeee132132123123231231()eee12320所以coscoscosABC32这道题从四个不同方面出发，从四个思路证明，其中用到了不少的定理、公式，渗透了重要的数学思想方法。所以同学们在平时解题时要考虑一题能否多解，这样可不断提高自己的解题能力，培养思维的灵活性，做到举一反三。用心爱心专心