圆锥曲线中常见错误剖析圆锥曲线是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。纵观近几年各地的高考试卷，以圆锥曲线为背景的试题设计上，命题者虽然在立意创新、知识的综合和交叉、数学方法的渗透上动了不少脑筋，但总的来说在解法上还是以考查圆锥曲线的通性通法为主，注重的是常规思路。即便如此，考生在此类题目的考试中得分率并不高，其中一个重要原因是平时学习时，对圆锥曲线中的一些常见错误认识不足。本文试图对圆锥曲线中的一些易错点作简单剖析，希望引起同学们的注意。一、机械套用圆锥曲线的定义导致错误例1已知F1、F2是双曲线的焦点，P为双曲线上一点，若P点到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。(2003年上海卷改变)错解双曲线的实轴长为8，由双曲线定义知，即，得|PF2|=1或17。剖析上述解法由于机械套用了双曲线定义，从而导致错误。事实上，设F1为左焦点，因为右顶点到左焦点的距离为10>9，所以P点必在双曲线的左支上，从而|PF2|=1不合，所以|PF2|=17。二、盲目套用标准方程导致错误例2已知橢圆的一个焦点F（0，），对应的准线方程为：且离心率e满足：成等比数列，求这个橢圆的方程。错解 橢圆的一个焦点F（0，），∴c=，又橢圆的一条准线方程为：，∴，∴b2=1∴橢圆方程为剖析本题解法的错误是默认椭圆是标准情形，盲目套用了标准方程，从而给人造成一种题目条件多余的错觉。其实，只有对标准情形下的圆锥曲线，在求方程时，我们可以用待定系数法求基本几何量来解决，当圆锥曲线不能定位时一般采用定义法求解。正确解法如下： 橢圆的一个焦点F（0，），相应的准线方程为：.又由橢圆的离心率e满足：成等比数列，可求得：,设橢圆上任意一点P（x，y），P到焦点F对应的准线距离为d，由橢圆的第二定义得，即，∴化简即得是一个中心不在原点的橢圆.三、忽视特殊情形导致错误1例3已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|－|PN|=，记动点P的轨迹为W.（2006年北京卷）（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求、的最小值.错解（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，实半轴长，又半焦距c=2，故虚半轴长，所以W的方程为（）。（Ⅱ）设A，B的坐标分别为,，直线AB的方程为,与W的方程联立，消去y得故所以.又因为，所以，从而，所以无最小值。剖析本题（Ⅰ）的解法是正确的。（Ⅱ）的解法中忽视了直线AB斜率不存在的情况，从而导致了无最小值的错误。纠正方法是补上：当AB⊥x轴时,从而所以综上，、的最小值为2.四、漏用判别式导致错误例4如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．（I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．（2007年浙江卷）错解(I)设点A的坐标为(，点B的坐标为，2yxOAB由，解得，所以当且仅当时，S取到最大值1．（Ⅱ）由得｜AB｜＝①又因为O到AB的距离所以②②代入①并整理，得解得，，故直线AB的方程是或或或．剖析上述（Ⅰ）的解法是正确的。（Ⅱ）的解法中，答案虽然正确，但这里忽视了对判别式>0的检验。这也是处理直线和圆锥曲线位置关系相关问题中要特别强调的一点。五、误用判别式导致错误例5已知椭圆3x2+2y2=6x与曲线x2+y2-k=0恒有交点，求k的取值范围。错解由剖析△≥0只能保证方程有解，而不能保证原方程组有解。因为原方程组中有隐含条件0≤x≤2,消去y后得到的关于x的一元二次方程看不到这个限制条件。正确解法为：由又3x2+2y2=6x∴,从而方程的两根x1、x2应满足0≤x1≤2或0≤x2≤2,设函数f(x)=，对称轴为x=3且抛物线开口向上∴.故k的取值范围为[0,4].3六、忽视曲线自身范围的制约导致错误例6是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出方程；若不存在，试说明理由.(1)顶点在x轴上，以y轴为准线。(2)A(3,0)到此抛物线上动点P的距离的最小值是2。错解由条件知：抛物线开口方向向右，焦点在x轴的正半轴上。设顶点为（a,0）(a>0)，则方程为y2=4a(x–a)，P（x,y）为抛物线上任一点 =(x–3)2+y2=(x–3)2+4a(x–a)=x2+(4a–6)x+9–4a2=12a–8a2∴当x=3–2a时,=12a–8a2=4∴a=1或所求抛物线方程为：y2=4(x–1)或y...
