第3章三角函数、解三角形第7节正弦定理和余弦定理1．(2014·课标Ⅰ，16,5分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.答案：2．(2014·福建，12,4分)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．解析：法一：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sinC＝2.法二：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.答案：23．(2014·天津，12,5)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析：由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝＝－.答案：－4．(2014·江苏，14,5分)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．解析：由正弦定理可得a＋b＝2c，又cosC＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时取等号，所以cosC的最小值是.答案：5．(2014·辽宁，17,12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由·＝2得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝·＝.因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝·＋·＝.6．(2014·湖南，18,12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．解析：(1)如题图，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝.故由题设知，cos∠CAD＝＝.(2)如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，所以sin∠CAD＝＝＝，sin∠BAD＝＝＝.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理，＝.故BC＝＝＝3.7．(2014·课标Ⅱ，4,5分)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．1解析：选B由题意可得AB·BC·sinB＝，又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.8．(2014·江西，4,5分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是()A．3B.C.D．3解析：选C由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6①.由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab②.所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝absin＝×6×＝.9．(2014·重庆，10,5分)已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24解析：选A因为A＋B＋C＝π，由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋得sin2A＋sin2B＋sin2C＝，即sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＋sin2C＝，整理得2sinCcos(A－B)＋2sinCcosC＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，整理得4sinAsinBsinC＝，即sinAsinBsinC＝.又S＝absinC＝bcsinA＝casinB，因此S3＝a2b2c2sinAsinBsinC＝a2b2c2.由1≤S≤2得1≤a2b2c2≤23，即8≤abc≤16，因此选项C，D不一定成立．又b＋c>a>0，因此bc(b＋c)>bc·a≥8，即bc(b＋c)>8，选项A一定成立．又a＋b>c>0，因此ab(a＋b)>ab·c≥8，即ab(a＋b...
