§9.6椭圆1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1P47例6、P50)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．2．椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程＋＝1(a>b>0)(3)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(8)焦距2c＝2(9)离心率※(10)准线x＝±y＝±自查自纠1．(1)＞焦点焦距(2)离心率2．(2)＋＝1(a＞b＞0)(5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)(7)F1(－c，0)，F2(c，0)(9)e＝(0＜e＜1)()已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9解：由＝4，得m2＝9，又m>0，∴m＝3.故选B.“－3b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.B.C.D.解：设＝2c，则＝c，∴＝c.∴2a＝＋＝2c，故e＝＝.故选D.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是____________．解：由椭圆C的右焦点为F(1，0)知c＝1，且焦点在x轴上，又e＝＝，∴a＝2，a2＝4，b2＝a2－c2＝3，椭圆C的方程为＋＝1.故填＋＝1.已知椭圆＋＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．解：当焦点在x轴上时，有m－4＝1，得m＝5，此时长轴长为2；当焦点在y轴上时，长轴长为4.故填2或4.类型一椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)过点P(－3，2)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点；(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P到两焦点的距离分别为5，3，过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1) 椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 2a＝10，2c＝6，即a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2) 所求的椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在x轴上，且c2＝5.设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 所求椭圆过点P(－3，2)，∴有＋＝1.又a2－b2＝c2＝5，∴联立上述两式，解得∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件得解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．(1)过两点P1(2，2)，P2(－3，－1)作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．解：根据题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，将两已知点坐标代入得解得故椭圆方程为x2＋y2＝1，长半轴长a＝＝，短半轴长b＝＝. c2＝a2－b2＝－＝，∴离心率e＝＝＝.(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．解法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.解法二： 所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1...
