第4节求非线性目标函数的最值【基础知识】常见代数式的几何意义有(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.[6分]【针对训练】1、设实数x，y满足则的最大值为________．2、已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|OA＋OM|的最小值是________．【答案】(1)(2)【解析】(1)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，)处取到最大值．(2)依题意得，OA＋OM＝(x＋1，y)，|OA＋OM|＝可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA＋OM|的最小值是＝.3、设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.B．4C.D．24、设变量x，y满足若直线kx－y＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为________．【答案】(1)B(2)1【巩固提升】1、已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是()A．B．C．D．(3,6]【答案】A2、若满足约束条件，则的最大值为.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.3、已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为()A.5B.4C.D.2【答案】B【解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，即2＝2a＋b，所以2－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20，构造函数m(a)＝5a2－8a＋20(>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－8a＋20的最小值是＝4，即a2＋b2的最小值为4.故选B.4．设实数x、y满足则的最大值是________．【解析】不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设＝t，则y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．由解得A.代入y＝tx，得t＝.所以的最大值为.
